Força hidrostática
- Pressão em uma profundidade
- p = ρgh
- Força em uma parede vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de pressão
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Retângulo
- Ic = bH³/12
Hidráulica: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Continuidade e Bernoulli
- Continuidade
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Vazão
- Q = A·v
- Área do círculo
- A = πd²/4
Atrito em tubulações e perda de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime de escoamento
- laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
- Velocidade média
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
- Queda de pressão
- Δp = ρ·g·hf
- Dois reservatórios abertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Saída livre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas e potência de bombas
- Potência hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potência no eixo
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potência elétrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura manométrica da bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdas do sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Escoamento em canais abertos (Manning)
- Equação de Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Vazão
- Q = A·V
- Raio hidráulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Retângulo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapézio (talude z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circular, cheio ou meio cheio
- R = D/4
- Declividade necessária
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Exercícios
1.Força hidrostáticaMédia
Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 1 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 1 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade ycp do centro de pressão abaixo da superfície.
d = 1 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuidade e BernoulliMédia
Água escoa por um medidor Venturi horizontal com diâmetro de entrada de 100 mm e diâmetro da garganta de 60 mm. A pressão na entrada é 49 kPa maior que na garganta. Desprezando as perdas, encontre a vazão Q.
d1 = 100 mmd2 = 60 mmp1 − p2 = 49 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuidade e BernoulliDifícil
A água sobe por um tubo que se estreita de 200 mm para 100 mm enquanto sobe 7 m. Na seção 1 a pressão é 280 kPa e a velocidade é 3 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 na seção 2.
d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 280 kPav1 = 3 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 1,5 m/s em uma tubulação horizontal de 400 m de comprimento e diâmetro interno de 300 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.
V = 1,5 m/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 500 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015. A superfície da água do reservatório superior está 10 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 10) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.
Δz = 10 mL = 500 mD = 250 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas e potência de bombasMédia
Uma bomba fornece 15 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 18 m. O rendimento da bomba é 78% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 95%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica Pel consumida pelo motor, em kW.
Q = 15 L/sH = 18 mηpump = 78%ηmotor = 95%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Bombas e potência de bombasDifícil
Uma bomba transporta 20 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 17 m mais alta. A tubulação tem 100 m de comprimento, diâmetro interno de 100 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.
Q = 20 L/sΔz = 17 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,018ΣK = 8
H = m
9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média
Um canal trapezoidal de cascalho tem largura de fundo de 4,5 m e taludes de 2:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 1,5 m de profundidade. n de Manning = 0,025 e a declividade do fundo é S = 0,0005. Encontre a vazão Q em m³/s.
b = 4,5 my = 1,5 mz = 2n = 0,025S = 0,0005
Q = m³/s
10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil
Um canal trapezoidal de cascalho com largura de fundo de 2,5 m e taludes de 1:1 (horizontal:vertical) deve transportar 8,9 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1,8 m. n de Manning = 0,025. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).
Q = 8,9 m³/sb = 2,5 my = 1,8 mz = 1n = 0,025
S = m/m
3Soluções
1.Força hidrostática
Resposta: F = 220,7 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·9 = 220,7 kN
Resposta
F = 220,7 kN
2.Força hidrostática
Resposta: ycp = 1,857 m
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·1,75·1,5 = 32,45 kN
Centro de pressão
A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.
Ic = b·H³/12 = 1·1,5³/12 = 0,2813 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1,75 + 0,2813/(1,75·1,5) = 1,857 m
Resposta
ycp = 1,857 m
3.Continuidade e Bernoulli
Resposta: Q = 30 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuidade
v1 = v2·(60/100)² = 0,36·v2
Bernoulli entre a entrada e a garganta
O tubo é horizontal, então só a pressão e a velocidade mudam.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·49000/(1000·(1 − 0,1296))) = 10,61 m/s
v1 = 3,82 m/s
Vazão
Q = A2·v2 = 0,002827·10,61 = 0,03 m³/s = 30 L/s
Resposta
Q = 30 L/s
4.Continuidade e Bernoulli
Resposta: p2 = 143,8 kPa
Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.
Continuidade e Bernoulli
Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 3·(200/100)² = 12 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67,5 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 280 + (−67,5) − 68,67 = 143,8 kPa
Resposta
p2 = 143,8 kPa
5.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Δp = 42 kPa
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Perda de carga
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(400/0,3)·1,5²/(2·9,81) = 4,281 m
Queda de pressão
A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·4,281 = 42000 Pa = 42 kPa
Resposta
Δp = 42 kPa
6.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Q = 105,6 L/s
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Coeficientes de perda
f·L/D = 0,015·500/0,25 = 30
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4
Equação da energia
As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.
10 = (30 + 12,4)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·10/42,4) = 2,151 m/s
Vazão
Q = V·π·D²/4 = 2,151·0,04909 = 0,1056 m³/s = 105,6 L/s
Resposta
Q = 105,6 L/s
7.Bombas e potência de bombas
Resposta: Pel = 3,574 kW
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·18 = 2,649 kW
Potência no eixo
Pshaft = 2,649/0,78 = 3,396 kW
Potência elétrica
Pel = 3,396/0,95 = 3,574 kW
Resposta
Pel = 3,574 kW
8.Bombas e potência de bombas
Resposta: H = 25,59 m
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Velocidade
V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Perdas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 8)·0,3305 = 8,593 m
Altura manométrica da bomba
As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.
H = Δz + hL = 17 + 8,593 = 25,59 m
Resposta
H = 25,59 m
9.Escoamento em canais abertos (Manning)
Resposta: Q = 10,09 m³/s
Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (4,5 + 2·1,5)·1,5 = 11,25 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·1,5·√(1 + 2²) = 11,21 m
R = A/P = 1,004 m
Velocidade
V = (1/0,025)·1,0042/3·0,00051/2 = 0,8966 m/s
Vazão
Q = A·V = 11,25·0,8966 = 10,09 m³/s
Resposta
Q = 10,09 m³/s
10.Escoamento em canais abertos (Manning)
Resposta: S = 0,0008053 m/m
Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1·1,8)·1,8 = 7,74 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,8·√(1 + 1²) = 7,591 m
R = A/P = 1,02 m
Resolver Manning para S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,025·8,9/(7,74·1,013) = 0,02838
S = 0,02838² = 0,0008053
Resposta
S = 0,0008053
Isso é um desnível de 0,8053 m por quilômetro.
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