Força hidrostática
- Pressão em uma profundidade
- p = ρgh
- Força em uma parede vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de pressão
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Retângulo
- Ic = bH³/12
Hidráulica: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Continuidade e Bernoulli
- Continuidade
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Vazão
- Q = A·v
- Área do círculo
- A = πd²/4
Atrito em tubulações e perda de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime de escoamento
- laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
- Velocidade média
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
- Queda de pressão
- Δp = ρ·g·hf
- Dois reservatórios abertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Saída livre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas e potência de bombas
- Potência hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potência no eixo
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potência elétrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura manométrica da bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdas do sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Escoamento em canais abertos (Manning)
- Equação de Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Vazão
- Q = A·V
- Raio hidráulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Retângulo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapézio (talude z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circular, cheio ou meio cheio
- R = D/4
- Declividade necessária
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Exercícios
1.Força hidrostáticaMédia
Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 2,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 1 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidade e BernoulliMédia
A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 75 mm para 40 mm. No trecho largo a pressão é 370 kPa e a velocidade é 1,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 no trecho estreito.
d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 370 kPav1 = 1,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuidade e BernoulliDifícil
O bocal de uma fonte aponta para cima na vertical. Logo abaixo do bocal o tubo de alimentação tem diâmetro de 100 mm e pressão manométrica de 140 kPa. O diâmetro de saída do bocal é 40 mm, e a diferença de altura ao longo do bocal é desprezível. Desprezando as perdas e a resistência do ar, encontre a altura H que o jato sobe acima do bocal. Use g = 9,81 m/s².
d1 = 100 mmp1 = 140 kPa (manométrica)d2 = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
Água escoa a 8 L/s em uma tubulação de 1000 m de comprimento com diâmetro interno de 100 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito hf.
Q = 8 L/sL = 1000 mD = 100 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018. A superfície da água do reservatório superior está 13 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.
Δz = 13 mL = 200 mD = 300 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas e potência de bombasMédia
Uma bomba com rendimento de 78% fornece 25 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 40 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo Pshaft necessária, em kW.
Q = 25 L/sH = 40 mη = 78%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Bombas e potência de bombasDifícil
Uma bomba transporta 20 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 32 m mais alta. A tubulação tem 100 m de comprimento, diâmetro interno de 100 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 400 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.
Q = 20 L/sΔz = 32 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 8ptank = 400 kPa
H = m
9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média
Um canal trapezoidal de terra revestida de grama tem largura de fundo de 3,5 m e taludes de 1,5:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 0,6 m de profundidade. n de Manning = 0,03 e a declividade do fundo é S = 0,004. Encontre a vazão Q em m³/s.
b = 3,5 my = 0,6 mz = 1,5n = 0,03S = 0,004
Q = m³/s
10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil
Um canal trapezoidal de terra revestida de grama com largura de fundo de 4 m e taludes de 1:1 (horizontal:vertical) deve transportar 12 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1,3 m. n de Manning = 0,03. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).
Q = 12 m³/sb = 4 my = 1,3 mz = 1n = 0,03
S = m/m
3Soluções
1.Força hidrostática
Resposta: F = 143,5 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,25·4,5 = 143,5 kN
Resposta
F = 143,5 kN
2.Força hidrostática
Resposta: F = 110,4 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m
A = H·b = 2,5·2 = 5 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,25·5 = 110,4 kN
Resposta
F = 110,4 kN
3.Continuidade e Bernoulli
Resposta: p2 = 357,2 kPa
Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.
Continuidade e Bernoulli
Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,5·(75/40)² = 5,273 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,5² − 5,273²)/1000 = −12,78 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 370 + (−12,78) = 357,2 kPa
Resposta
p2 = 357,2 kPa
4.Continuidade e Bernoulli
Resposta: H = 14,65 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocidade de saída
β = 40/100 = 0,4
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·140000/(1000·0,9744)) = 16,95 m/s
Altura do jato
Bernoulli ao longo do jato: no topo a velocidade é zero e a pressão volta a ser a atmosférica.
H = v2²/(2g) = 16,95²/(2·9,81) = 14,65 m
Resposta
H = 14,65 m
5.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: hf = 14,81 m
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Velocidade média
A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²
V = Q/A = 0,008/0,007854 = 1,019 m/s
Carga cinética
V²/(2g) = 1,019²/(2·9,81) = 0,05288 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(1000/0,1)·1,019²/(2·9,81) = 14,81 m
Resposta
hf = 14,81 m
6.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Q = 278,8 L/s
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Coeficientes de perda
f·L/D = 0,018·200/0,3 = 12
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4
Equação da energia
As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.
13 = (12 + 4,4)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·13/16,4) = 3,944 m/s
Vazão
Q = V·π·D²/4 = 3,944·0,07069 = 0,2788 m³/s = 278,8 L/s
Resposta
Q = 278,8 L/s
7.Bombas e potência de bombas
Resposta: Pshaft = 12,58 kW
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·40 = 9,81 kW
Potência no eixo
Pshaft = Ph/η = 9,81/0,78 = 12,58 kW
Resposta
Pshaft = 12,58 kW
8.Bombas e potência de bombas
Resposta: H = 80,38 m
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Velocidade
V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Perdas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 8)·0,3305 = 7,602 m
Carga de pressão
p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m
Altura manométrica da bomba
As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 32 + 40,77 + 7,602 = 80,38 m
Resposta
H = 80,38 m
9.Escoamento em canais abertos (Manning)
Resposta: Q = 3,346 m³/s
Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (3,5 + 1,5·0,6)·0,6 = 2,64 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·0,6·√(1 + 1,5²) = 5,663 m
R = A/P = 0,4662 m
Velocidade
V = (1/0,03)·0,46622/3·0,0041/2 = 1,267 m/s
Vazão
Q = A·V = 2,64·1,267 = 3,346 m³/s
Resposta
Q = 3,346 m³/s
10.Escoamento em canais abertos (Manning)
Resposta: S = 0,003154 m/m
Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (4 + 1·1,3)·1,3 = 6,89 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1,3·√(1 + 1²) = 7,677 m
R = A/P = 0,8975 m
Resolver Manning para S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,03·12/(6,89·0,9304) = 0,05616
S = 0,05616² = 0,003154
Resposta
S = 0,003154
Isso é um desnível de 3,154 m por quilômetro.
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