Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 3 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa por um medidor Venturi horizontal com diâmetro de entrada de 100 mm e diâmetro da garganta de 60 mm. A pressão na entrada é 27 kPa maior que na garganta. Desprezando as perdas, encontre a vazão Q.

d₁ = 100 mmd₂ = 60 mmp₁ − p₂ = 27 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Um tanque de água fechado tem ar comprimido acima da água a uma pressão manométrica de 160 kPa. A água sai por uma abertura com diâmetro de 40 mm, 1,5 m abaixo da superfície da água, para o ar livre. Desprezando as perdas, encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².

p_air = 160 kPa (manométrica)h = 1,5 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa com velocidade média de 2,5 m/s em uma tubulação de 50 m de comprimento com diâmetro interno de 50 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

V = 2,5 m/sL = 50 mD = 50 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,025) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 2). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2

H = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Em um ensaio, uma bomba fornece 15 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 74 m enquanto seu eixo absorve 18,1 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 15 L/sH = 74 mP_shaft = 18,1 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 120 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 20 m mais alta. A tubulação tem 400 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,022; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 78%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 120 L/sΔz = 20 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 6η = 78%

P_shaft = kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de terra limpa tem largura de fundo de 1 m e taludes de 3:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 1,9 m de profundidade. n de Manning = 0,022 e a declividade do fundo é S = 0,004. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 1 my = 1,9 mz = 3n = 0,022S = 0,004

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal trapezoidal de alvenaria de tijolos com largura de fundo de 1 m e taludes de 2:1 (horizontal:vertical) deve transportar 2,3 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 0,8 m. n de Manning = 0,015. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 2,3 m³/sb = 1 my = 0,8 mz = 2n = 0,015

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 34,34 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·1 = 34,34 kN

Resposta

F = 34,34 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 111,2 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3·3 = 111,2 kN

Resposta

F = 111,2 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 22,27 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuidade

v₁ = v₂·(60/100)² = 0,36·v₂

Bernoulli entre a entrada e a garganta

O tubo é horizontal, então só a pressão e a velocidade mudam.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·27000/(1000·(1 − 0,1296))) = 7,877 m/s

v₁ = 2,836 m/s

Vazão

Q = A₂·v₂ = 0,002827·7,877 = 0,02227 m³/s = 22,27 L/s

Resposta

Q = 22,27 L/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 23,49 L/s

Bernoulli da superfície até o jato

v = √(2·(160000/1000 + 9,81·1,5)) = 18,69 m/s

Vazão

Q = A·v = 0,001257·18,69 = 0,02349 m³/s = 23,49 L/s

Resposta

Q = 23,49 L/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 4,778 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Carga cinética

V²/(2g) = 2,5²/(2·9,81) = 0,3186 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(50/0,05)·2,5²/(2·9,81) = 4,778 m

Resposta

h_f = 4,778 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 8,474 m

Velocidade

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,025·100/0,15 = 16,67

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 = 3,1

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 16,67 + 3,1)·0,408 = 8,474 m

Resposta

H = 8,474 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 60,16 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·74 = 10,89 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 10,89/18,1 = 60,16%

Resposta

η = 60,16%

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 49,12 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (35,2 + 6)·0,3046 = 12,55 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 20 + 12,55 = 32,55 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·32,55/0,78 = 49,12 kW

Resposta

P_shaft = 49,12 kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 36,06 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1 + 3·1,9)·1,9 = 12,73 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1,9·√(1 + 3²) = 13,02 m

R = A/P = 0,978 m

Velocidade

V = (1/0,022)·0,978^2/3·0,004^1/2 = 2,832 m/s

Vazão

Q = A·V = 12,73·2,832 = 36,06 m³/s

Resposta

Q = 36,06 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,0007876 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1 + 2·0,8)·0,8 = 2,08 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·0,8·√(1 + 2²) = 4,578 m

R = A/P = 0,4544 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·2,3/(2,08·0,591) = 0,02806

S = 0,02806² = 0,0007876

Resposta

S = 0,0007876

Isso é um desnível de 0,7876 m por quilômetro.

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