Força hidrostática
- Pressão em uma profundidade
- p = ρgh
- Força em uma parede vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de pressão
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Retângulo
- Ic = bH³/12
Hidráulica: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Continuidade e Bernoulli
- Continuidade
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Vazão
- Q = A·v
- Área do círculo
- A = πd²/4
Atrito em tubulações e perda de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime de escoamento
- laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
- Velocidade média
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
- Queda de pressão
- Δp = ρ·g·hf
- Dois reservatórios abertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Saída livre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas e potência de bombas
- Potência hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potência no eixo
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potência elétrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura manométrica da bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdas do sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Escoamento em canais abertos (Manning)
- Equação de Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Vazão
- Q = A·V
- Raio hidráulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Retângulo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapézio (talude z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circular, cheio ou meio cheio
- R = D/4
- Declividade necessária
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Exercícios
1.Força hidrostáticaMédia
Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 4 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 1,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidade e BernoulliMédia
A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 150 mm para 75 mm. No trecho largo a pressão é 270 kPa e a velocidade é 2,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 no trecho estreito.
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 = 270 kPav1 = 2,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuidade e BernoulliDifícil
O bocal de uma fonte aponta para cima na vertical. Logo abaixo do bocal o tubo de alimentação tem diâmetro de 100 mm e pressão manométrica de 100 kPa. O diâmetro de saída do bocal é 30 mm, e a diferença de altura ao longo do bocal é desprezível. Desprezando as perdas e a resistência do ar, encontre a altura H que o jato sobe acima do bocal. Use g = 9,81 m/s².
d1 = 100 mmp1 = 100 kPa (manométrica)d2 = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
Água escoa com velocidade média de 1,7 m/s em uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito hf.
V = 1,7 m/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015. A superfície da água do reservatório superior está 20 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 5) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.
Δz = 20 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas e potência de bombasMédia
Uma bomba fornece 15 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 32 m. O rendimento da bomba é 75% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 94%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica Pel consumida pelo motor, em kW.
Q = 15 L/sH = 32 mηpump = 75%ηmotor = 94%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Bombas e potência de bombasDifícil
Uma bomba transporta 20 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 5 m mais alta. A tubulação tem 300 m de comprimento, diâmetro interno de 100 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,022; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 250 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.
Q = 20 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 100 mmf = 0,022ΣK = 8ptank = 250 kPa
H = m
9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média
Uma galeria de águas pluviais de concreto com diâmetro interno de 300 mm escoa exatamente cheia (como canal aberto, não sob pressão). n de Manning = 0,013 e a declividade é S = 0,004. Encontre a vazão Q em m³/s.
D = 300 mmn = 0,013S = 0,004
Q = m³/s
10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil
Uma galeria de concreto com diâmetro interno de 250 mm (n de Manning = 0,013) deve atingir uma velocidade de autolimpeza de 1,2 m/s quando escoa exatamente cheia. Encontre a declividade mínima S (em m/m).
D = 250 mmn = 0,013V = 1,2 m/s
S = m/m
3Soluções
1.Força hidrostática
Resposta: F = 69,9 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,75·1,5 = 69,9 kN
Resposta
F = 69,9 kN
2.Força hidrostática
Resposta: F = 83,43 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m
A = H·b = 1,5·2 = 3 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·2,25·3 = 83,43 kN
Resposta
F = 83,43 kN
3.Continuidade e Bernoulli
Resposta: p2 = 223,1 kPa
Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.
Continuidade e Bernoulli
Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,5·(150/75)² = 10 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,5² − 10²)/1000 = −46,88 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 270 + (−46,88) = 223,1 kPa
Resposta
p2 = 223,1 kPa
4.Continuidade e Bernoulli
Resposta: H = 10,28 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocidade de saída
β = 30/100 = 0,3
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·100000/(1000·0,9919)) = 14,2 m/s
Altura do jato
Bernoulli ao longo do jato: no topo a velocidade é zero e a pressão volta a ser a atmosférica.
H = v2²/(2g) = 14,2²/(2·9,81) = 10,28 m
Resposta
H = 10,28 m
5.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: hf = 2,592 m
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Carga cinética
V²/(2g) = 1,7²/(2·9,81) = 0,1473 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(200/0,25)·1,7²/(2·9,81) = 2,592 m
Resposta
hf = 2,592 m
6.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Q = 219,1 L/s
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Coeficientes de perda
f·L/D = 0,015·200/0,25 = 12
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7
Equação da energia
As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.
20 = (12 + 7,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·20/19,7) = 4,463 m/s
Vazão
Q = V·π·D²/4 = 4,463·0,04909 = 0,2191 m³/s = 219,1 L/s
Resposta
Q = 219,1 L/s
7.Bombas e potência de bombas
Resposta: Pel = 6,679 kW
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·32 = 4,709 kW
Potência no eixo
Pshaft = 4,709/0,75 = 6,278 kW
Potência elétrica
Pel = 6,278/0,94 = 6,679 kW
Resposta
Pel = 6,679 kW
8.Bombas e potência de bombas
Resposta: H = 54,94 m
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Velocidade
V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Perdas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (66 + 8)·0,3305 = 24,46 m
Carga de pressão
p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m
Altura manométrica da bomba
As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 5 + 25,48 + 24,46 = 54,94 m
Resposta
H = 54,94 m
9.Escoamento em canais abertos (Manning)
Resposta: Q = 0,06116 m³/s
Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.
Geometria
A = 0,07069 m², R = D/4 = 0,075 m
Velocidade
V = (1/0,013)·0,0752/3·0,0041/2 = 0,8652 m/s
Vazão
Q = A·V = 0,07069·0,8652 = 0,06116 m³/s
Resposta
Q = 0,06116 m³/s
10.Escoamento em canais abertos (Manning)
Resposta: S = 0,009812 m/m
Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.
Raio hidráulico
R = D/4 = 0,25/4 = 0,0625 m
Resolver Manning para S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·1,2/0,1575)² = 0,009812
Resposta
S = 0,009812
Isso é um desnível de 9,812 m por quilômetro.
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