Força hidrostática
- Pressão em uma profundidade
- p = ρgh
- Força em uma parede vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de pressão
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Retângulo
- Ic = bH³/12
Hidráulica: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Continuidade e Bernoulli
- Continuidade
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Vazão
- Q = A·v
- Área do círculo
- A = πd²/4
Atrito em tubulações e perda de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime de escoamento
- laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
- Velocidade média
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
- Queda de pressão
- Δp = ρ·g·hf
- Dois reservatórios abertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Saída livre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas e potência de bombas
- Potência hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potência no eixo
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potência elétrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura manométrica da bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdas do sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Escoamento em canais abertos (Manning)
- Equação de Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Vazão
- Q = A·V
- Raio hidráulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Retângulo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapézio (talude z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circular, cheio ou meio cheio
- R = D/4
- Declividade necessária
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Exercícios
1.Força hidrostáticaMédia
Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 4 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade ycp do centro de pressão abaixo da superfície.
d = 3 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuidade e BernoulliMédia
A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 75 mm para 50 mm. No trecho largo a pressão é 340 kPa e a velocidade é 1 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 no trecho estreito.
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 340 kPav1 = 1 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuidade e BernoulliDifícil
Um tanque de água fechado tem ar comprimido acima da água a uma pressão manométrica de 90 kPa. A água sai por uma abertura com diâmetro de 30 mm, 2 m abaixo da superfície da água, para o ar livre. Desprezando as perdas, encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².
pair = 90 kPa (manométrica)h = 2 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
Água escoa a 25 L/s em uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 100 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito hf.
Q = 25 L/sL = 200 mD = 100 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02. A superfície da água do reservatório superior está 8 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.
Δz = 8 mL = 100 mD = 300 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas e potência de bombasMédia
Uma bomba fornece 30 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 38 m. O rendimento da bomba é 65% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 90%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica Pel consumida pelo motor, em kW.
Q = 30 L/sH = 38 mηpump = 65%ηmotor = 90%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Bombas e potência de bombasDifícil
Uma bomba transporta 120 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 22 m mais alta. A tubulação tem 100 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 300 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.
Q = 120 L/sΔz = 22 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 8ptank = 300 kPa
H = m
9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média
Um canal retangular de concreto acabado tem 4 m de largura. A água escoa uniformemente com 1,1 m de profundidade. n de Manning = 0,012 e a declividade do fundo é S = 0,003. Encontre a vazão Q em m³/s.
b = 4 my = 1,1 mn = 0,012S = 0,003
Q = m³/s
10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil
Um canal trapezoidal de concreto acabado com largura de fundo de 2 m e taludes de 3:1 (horizontal:vertical) deve transportar 14 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1,1 m. n de Manning = 0,012. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).
Q = 14 m³/sb = 2 my = 1,1 mz = 3n = 0,012
S = m/m
3Soluções
1.Força hidrostática
Resposta: F = 104,8 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,75·2,25 = 104,8 kN
Resposta
F = 104,8 kN
2.Força hidrostática
Resposta: ycp = 3,524 m
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·3,5·1,5 = 64,89 kN
Centro de pressão
A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.
Ic = b·H³/12 = 1,5·1³/12 = 0,125 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,5 + 0,125/(3,5·1,5) = 3,524 m
Resposta
ycp = 3,524 m
3.Continuidade e Bernoulli
Resposta: p2 = 338 kPa
Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.
Continuidade e Bernoulli
Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(75/50)² = 2,25 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 2,25²)/1000 = −2,031 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 340 + (−2,031) = 338 kPa
Resposta
p2 = 338 kPa
4.Continuidade e Bernoulli
Resposta: Q = 10,47 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Bernoulli da superfície até o jato
v = √(2·(90000/1000 + 9,81·2)) = 14,81 m/s
Vazão
Q = A·v = 0,0007069·14,81 = 0,01047 m³/s = 10,47 L/s
Resposta
Q = 10,47 L/s
5.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: hf = 18,59 m
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Velocidade média
A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²
V = Q/A = 0,025/0,007854 = 3,183 m/s
Carga cinética
V²/(2g) = 3,183²/(2·9,81) = 0,5164 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(200/0,1)·3,183²/(2·9,81) = 18,59 m
Resposta
hf = 18,59 m
6.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Q = 262,7 L/s
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Coeficientes de perda
f·L/D = 0,02·100/0,3 = 6,667
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7
Equação da energia
As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.
8 = (6,667 + 4,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·8/11,37) = 3,716 m/s
Vazão
Q = V·π·D²/4 = 3,716·0,07069 = 0,2627 m³/s = 262,7 L/s
Resposta
Q = 262,7 L/s
7.Bombas e potência de bombas
Resposta: Pel = 19,12 kW
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·38 = 11,18 kW
Potência no eixo
Pshaft = 11,18/0,65 = 17,21 kW
Potência elétrica
Pel = 17,21/0,9 = 19,12 kW
Resposta
Pel = 19,12 kW
8.Bombas e potência de bombas
Resposta: H = 56,85 m
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Velocidade
V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m
Perdas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (6 + 8)·0,3046 = 4,264 m
Carga de pressão
p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m
Altura manométrica da bomba
As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 22 + 30,58 + 4,264 = 56,85 m
Resposta
H = 56,85 m
9.Escoamento em canais abertos (Manning)
Resposta: Q = 15,98 m³/s
Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.
Geometria
A = b·y = 4·1,1 = 4,4 m²
P = b + 2y = 4 + 2·1,1 = 6,2 m
R = A/P = 0,7097 m
Velocidade
V = (1/0,012)·0,70972/3·0,0031/2 = 3,632 m/s
Vazão
Q = A·V = 4,4·3,632 = 15,98 m³/s
Resposta
Q = 15,98 m³/s
10.Escoamento em canais abertos (Manning)
Resposta: S = 0,001472 m/m
Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (2 + 3·1,1)·1,1 = 5,83 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·1,1·√(1 + 3²) = 8,957 m
R = A/P = 0,6509 m
Resolver Manning para S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,012·14/(5,83·0,7511) = 0,03837
S = 0,03837² = 0,001472
Resposta
S = 0,001472
Isso é um desnível de 1,472 m por quilômetro.
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