Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 100 mm para 50 mm. No trecho largo a pressão é 140 kPa e a velocidade é 1 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ no trecho estreito.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 140 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Um tanque de água fechado tem ar comprimido acima da água a uma pressão manométrica de 100 kPa. A água sai por uma abertura com diâmetro de 25 mm, 2 m abaixo da superfície da água, para o ar livre. Desprezando as perdas, encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².

p_air = 100 kPa (manométrica)h = 2 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 15 L/s em uma tubulação de 300 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 15 L/sL = 300 mD = 150 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 300 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 10) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 120 L/s?

Q = 120 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Em um ensaio, uma bomba fornece 100 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 28 m enquanto seu eixo absorve 34,3 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 100 L/sH = 28 mP_shaft = 34,3 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 120 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 7 m mais alta. A tubulação tem 150 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 5 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 250 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 120 L/sΔz = 7 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 5p_tank = 250 kPa

H = m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de concreto sem acabamento tem largura de fundo de 4 m e taludes de 1,5:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 1,7 m de profundidade. n de Manning = 0,014 e a declividade do fundo é S = 0,0008. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 4 my = 1,7 mz = 1,5n = 0,014S = 0,0008

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal retangular de terra limpa com 3 m de largura deve transportar 19 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 2,3 m. n de Manning = 0,022. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 19 m³/sb = 3 my = 2,3 mn = 0,022

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 40,47 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·1,5 = 40,47 kN

Resposta

F = 40,47 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 50,99 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,75·1,5 = 50,99 kN

Resposta

F = 50,99 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 132,5 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(100/50)² = 4 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 4²)/1000 = −7,5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 140 + (−7,5) = 132,5 kPa

Resposta

p₂ = 132,5 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 7,593 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli da superfície até o jato

v = √(2·(100000/1000 + 9,81·2)) = 15,47 m/s

Vazão

Q = A·v = 0,0004909·15,47 = 0,007593 m³/s = 7,593 L/s

Resposta

Q = 7,593 L/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 1,322 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,015/0,01767 = 0,8488 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 0,8488²/(2·9,81) = 0,03672 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(300/0,15)·0,8488²/(2·9,81) = 1,322 m

Resposta

h_f = 1,322 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 4,069 m

Velocidade

V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,015·300/0,3 = 15

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Perda de carga total

h_f = 15·0,1469 = 2,203 m

h_m = 12,7·0,1469 = 1,866 m

Δz = h_f + h_m = 4,069 m

Resposta

Δz = 4,069 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 80,08 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·28 = 27,47 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 27,47/34,3 = 80,08%

Resposta

η = 80,08%

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 36,75 m

Velocidade

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 5)·0,3046 = 4,264 m

Carga de pressão

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 7 + 25,48 + 4,264 = 36,75 m

Resposta

H = 36,75 m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 23,96 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (4 + 1,5·1,7)·1,7 = 11,13 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1,7·√(1 + 1,5²) = 10,13 m

R = A/P = 1,099 m

Velocidade

V = (1/0,014)·1,099^2/3·0,0008^1/2 = 2,152 m/s

Vazão

Q = A·V = 11,13·2,152 = 23,96 m³/s

Resposta

Q = 23,96 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,004175 m/m

Geometria

A = b·y = 3·2,3 = 6,9 m²

P = b + 2y = 3 + 2·2,3 = 7,6 m

R = A/P = 0,9079 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·19/(6,9·0,9376) = 0,06461

S = 0,06461² = 0,004175

Resposta

S = 0,004175

Isso é um desnível de 4,175 m por quilômetro.

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