Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 3 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água do mar, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 100 mm para 75 mm. No trecho largo a pressão é 310 kPa e a velocidade é 2,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ no trecho estreito.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 310 kPav₁ = 2,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Um tanque de água fechado tem ar comprimido acima da água a uma pressão manométrica de 170 kPa. A água sai por uma abertura com diâmetro de 40 mm, 3 m abaixo da superfície da água, para o ar livre. Desprezando as perdas, encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².

p_air = 170 kPa (manométrica)h = 3 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa com velocidade média de 1,8 m/s em uma tubulação de 500 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

V = 1,8 m/sL = 500 mD = 250 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 20 L/s?

Q = 20 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba com rendimento de 72% fornece 10 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 44 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo P_shaft necessária, em kW.

Q = 10 L/sH = 44 mη = 72%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 80 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 7 m mais alta. A tubulação tem 300 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 75%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 80 L/sΔz = 7 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 6η = 75%

P_shaft = kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de cascalho tem largura de fundo de 1,5 m e taludes de 2:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 0,6 m de profundidade. n de Manning = 0,025 e a declividade do fundo é S = 0,0005. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 1,5 my = 0,6 mz = 2n = 0,025S = 0,0005

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal retangular de terra revestida de grama com 1,5 m de largura deve transportar 1,3 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 0,7 m. n de Manning = 0,03. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 1,3 m³/sb = 1,5 my = 0,7 mn = 0,03

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 82,77 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·2,25 = 82,77 kN

Resposta

F = 82,77 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 37,71 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2,5·1,5 = 37,71 kN

Resposta

F = 37,71 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 303,2 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,5·(100/75)² = 4,444 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,5² − 4,444²)/1000 = −6,752 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 310 + (−6,752) = 303,2 kPa

Resposta

p₂ = 303,2 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 25,1 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli da superfície até o jato

v = √(2·(170000/1000 + 9,81·3)) = 19,97 m/s

Vazão

Q = A·v = 0,001257·19,97 = 0,0251 m³/s = 25,1 L/s

Resposta

Q = 25,1 L/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 7,266 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Carga cinética

V²/(2g) = 1,8²/(2·9,81) = 0,1651 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(500/0,25)·1,8²/(2·9,81) = 7,266 m

Resposta

h_f = 7,266 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 1,158 m

Velocidade

V = Q/A = 0,02/0,01767 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,02·100/0,15 = 13,33

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Perda de carga total

h_f = 13,33·0,06529 = 0,8705 m

h_m = 4,4·0,06529 = 0,2873 m

Δz = h_f + h_m = 1,158 m

Resposta

Δz = 1,158 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 5,995 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·44 = 4,316 kW

Potência no eixo

P_shaft = P_h/η = 4,316/0,72 = 5,995 kW

Resposta

P_shaft = 5,995 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 17,18 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22,5 + 6)·0,3305 = 9,419 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 7 + 9,419 = 16,42 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·16,42/0,75 = 17,18 kW

Resposta

P_shaft = 17,18 kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 0,7698 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 2·0,6)·0,6 = 1,62 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·0,6·√(1 + 2²) = 4,183 m

R = A/P = 0,3873 m

Velocidade

V = (1/0,025)·0,3873^2/3·0,0005^1/2 = 0,4752 m/s

Vazão

Q = A·V = 1,62·0,4752 = 0,7698 m³/s

Resposta

Q = 0,7698 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,005346 m/m

Geometria

A = b·y = 1,5·0,7 = 1,05 m²

P = b + 2y = 1,5 + 2·0,7 = 2,9 m

R = A/P = 0,3621 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·1,3/(1,05·0,508) = 0,07312

S = 0,07312² = 0,005346

Resposta

S = 0,005346

Isso é um desnível de 5,346 m por quilômetro.

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