Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 1,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa a 6 L/s por um tubo horizontal que se estreita de 100 mm para 50 mm. A pressão no trecho estreito é 250 kPa. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₁ no trecho largo.

Q = 6 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₂ = 250 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Um medidor Venturi horizontal (entrada de 250 mm, garganta de 125 mm) transporta água. Um manômetro em U de mercúrio ligado entre a entrada e a garganta mostra uma diferença de nível de 280 mm. O coeficiente de descarga é 0,97. Encontre a vazão Q. Use ρ = 1000 kg/m³ para a água, 13 600 kg/m³ para o mercúrio e g = 9,81 m/s².

d₁ = 250 mmd₂ = 125 mmΔh = 280 mmC_d = 0,97ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 25 L/s em uma tubulação de 300 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 25 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,025) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 10). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10

H = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba com rendimento de 72% fornece 100 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 34 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo P_shaft necessária, em kW.

Q = 100 L/sH = 34 mη = 72%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 12 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 9 m mais alta. A tubulação tem 200 m de comprimento, diâmetro interno de 100 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 85%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 12 L/sΔz = 9 mL = 200 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 6η = 85%

P_shaft = kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Uma galeria de águas pluviais de concreto com diâmetro interno de 1200 mm escoa a meia seção. n de Manning = 0,013 e a declividade é S = 0,0005. Encontre a vazão Q em m³/s.

D = 1200 mmn = 0,013S = 0,0005

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal trapezoidal de terra limpa com largura de fundo de 5 m e taludes de 2:1 (horizontal:vertical) deve transportar 50 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1,8 m. n de Manning = 0,022. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 50 m³/sb = 5 my = 1,8 mz = 2n = 0,022

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 154,5 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·4,5 = 154,5 kN

Resposta

F = 154,5 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 2,042 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·3 = 58,86 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 0,25/(2·3) = 2,042 m

Resposta

y_cp = 2,042 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₁ = 254,4 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidades

v₁ = Q/A₁ = 0,006/0,007854 = 0,7639 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,006/0,001963 = 3,056 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 250 + ½·1000·(3,056² − 0,7639²)/1000 = 250 + 4,377 = 254,4 kPa

Resposta

p₁ = 254,4 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 102,3 L/s

Diferença de pressão pelo manômetro

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,28 = 34610 Pa

Velocidade na garganta

Continuidade e Bernoulli juntas dão a velocidade ideal na garganta.

β = 125/250 = 0,5

v₂ = √(2·34610/(1000·(1 − 0,0625))) = 8,593 m/s

Vazão real

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,97·0,01227·8,593 = 0,1023 m³/s = 102,3 L/s

Resposta

Q = 102,3 L/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 0,4759 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²

V = Q/A = 0,025/0,04909 = 0,5093 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 0,5093²/(2·9,81) = 0,01322 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(300/0,25)·0,5093²/(2·9,81) = 0,4759 m

Resposta

h_f = 0,4759 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 2,467 m

Velocidade

V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s

V²/(2g) = 0,07615 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,025·200/0,25 = 20

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 = 11,4

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 20 + 11,4)·0,07615 = 2,467 m

Resposta

H = 2,467 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 46,33 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·34 = 33,35 kW

Potência no eixo

P_shaft = P_h/η = 33,35/0,72 = 46,33 kW

Resposta

P_shaft = 46,33 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 1,84 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 6)·0,119 = 4,283 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 9 + 4,283 = 13,28 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,012·13,28/0,85 = 1,84 kW

Resposta

P_shaft = 1,84 kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 0,4359 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = 0,5655 m², R = D/4 = 0,3 m

Velocidade

V = (1/0,013)·0,3^2/3·0,0005^1/2 = 0,7708 m/s

Vazão

Q = A·V = 0,5655·0,7708 = 0,4359 m³/s

Resposta

Q = 0,4359 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,004021 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (5 + 2·1,8)·1,8 = 15,48 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1,8·√(1 + 2²) = 13,05 m

R = A/P = 1,186 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·50/(15,48·1,121) = 0,06341

S = 0,06341² = 0,004021

Resposta

S = 0,004021

Isso é um desnível de 4,021 m por quilômetro.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering