Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 0,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de óleo, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

Um tubo de Pitot estático em uma tubulação de água indica uma diferença de 29 kPa entre a pressão de estagnação e a pressão estática. Encontre a velocidade da água v na ponta.

p₀ − p = 29 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Uma mangueira com diâmetro interno de 25 mm sifona água de um tanque aberto. O ponto mais alto C da mangueira está 3 m acima da superfície da água, e a saída (aberta para o ar) está 2,5 m abaixo da superfície da água. Despreze as perdas e use g = 9,81 m/s². Encontre a pressão absoluta p_C no ponto C. A pressão atmosférica é 101,3 kPa.

d = 25 mmz_C = +3 mz₂ = −2,5 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 2,1 m/s em uma tubulação horizontal de 100 m de comprimento e diâmetro interno de 250 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.

V = 2,1 m/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018. A superfície da água do reservatório superior está 14 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 5) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.

Δz = 14 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba com rendimento de 78% fornece 150 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 22 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo P_shaft necessária, em kW.

Q = 150 L/sH = 22 mη = 78%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 50 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 12 m mais alta. A tubulação tem 500 m de comprimento, diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 50 L/sΔz = 12 mL = 500 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 6

H = m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de cascalho tem largura de fundo de 4 m e taludes de 3:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 0,7 m de profundidade. n de Manning = 0,025 e a declividade do fundo é S = 0,001. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 4 my = 0,7 mz = 3n = 0,025S = 0,001

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal retangular de terra limpa com 1,5 m de largura deve transportar 2,5 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1,5 m. n de Manning = 0,022. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 2,5 m³/sb = 1,5 my = 1,5 mn = 0,022

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 14,71 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1·1,5 = 14,71 kN

Resposta

F = 14,71 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 42,08 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,25·1,5 = 42,08 kN

Resposta

F = 42,08 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: v = 7,616 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli até o ponto de estagnação

O escoamento para na ponta, então sua energia cinética aparece como pressão adicional.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·29000/1000) = 7,616 m/s

Resposta

v = 7,616 m/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p_C = 47,34 kPa

Velocidade na mangueira

A superfície e a saída estão as duas abertas para o ar, então os termos de pressão se cancelam.

v = √(2g·2,5) = √(2·9,81·2,5) = 7,004 m/s

Bernoulli da superfície até C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(7,004²/2 + 9,81·3)/1000 = 101,3 − 53,96 = 47,34 kPa

Resposta

p_C = 47,34 kPa

Se essa pressão cair até a pressão de vapor da água, o sifão para de funcionar.

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δp = 26,46 kPa

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Perda de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(100/0,25)·2,1²/(2·9,81) = 2,697 m

Queda de pressão

A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·2,697 = 26460 Pa = 26,46 kPa

Resposta

Δp = 26,46 kPa

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Q = 58,46 L/s

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,018·150/0,15 = 18

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Equação da energia

As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.

14 = (18 + 7,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·14/25,1) = 3,308 m/s

Vazão

Q = V·π·D²/4 = 3,308·0,01767 = 0,05846 m³/s = 58,46 L/s

Resposta

Q = 58,46 L/s

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 41,5 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·22 = 32,37 kW

Potência no eixo

P_shaft = P_h/η = 32,37/0,78 = 41,5 kW

Resposta

P_shaft = 41,5 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 48,45 m

Velocidade

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (83,33 + 6)·0,408 = 36,45 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.

H = Δz + h_L = 12 + 36,45 = 48,45 m

Resposta

H = 48,45 m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 3,433 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (4 + 3·0,7)·0,7 = 4,27 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·0,7·√(1 + 3²) = 8,427 m

R = A/P = 0,5067 m

Velocidade

V = (1/0,025)·0,5067^2/3·0,001^1/2 = 0,8039 m/s

Vazão

Q = A·V = 4,27·0,8039 = 3,433 m³/s

Resposta

Q = 3,433 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,001506 m/m

Geometria

A = b·y = 1,5·1,5 = 2,25 m²

P = b + 2y = 1,5 + 2·1,5 = 4,5 m

R = A/P = 0,5 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·2,5/(2,25·0,63) = 0,0388

S = 0,0388² = 0,001506

Resposta

S = 0,001506

Isso é um desnível de 1,506 m por quilômetro.

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