Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água do mar, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 3 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 75 mm para 50 mm. No trecho largo a pressão é 370 kPa e a velocidade é 1 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ no trecho estreito.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 370 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

A água sobe por um tubo que se estreita de 75 mm para 50 mm enquanto sobe 7 m. Na seção 1 a pressão é 330 kPa e a velocidade é 1,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ na seção 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 330 kPav₁ = 1,5 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 15 L/s em uma tubulação de 50 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 15 L/sL = 50 mD = 150 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 0,2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba com rendimento de 85% fornece 15 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 18 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo P_shaft necessária, em kW.

Q = 15 L/sH = 18 mη = 85%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 120 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 6 m mais alta. A tubulação tem 300 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 85%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 120 L/sΔz = 6 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 6η = 85%

P_shaft = kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de terra revestida de grama tem largura de fundo de 6 m e taludes de 2:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 1 m de profundidade. n de Manning = 0,03 e a declividade do fundo é S = 0,0005. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 6 my = 1 mz = 2n = 0,03S = 0,0005

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal trapezoidal de cascalho com largura de fundo de 4 m e taludes de 1:1 (horizontal:vertical) deve transportar 4,3 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 0,6 m. n de Manning = 0,025. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 4,3 m³/sb = 4 my = 0,6 mz = 1n = 0,025

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 121,4 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·4,5 = 121,4 kN

Resposta

F = 121,4 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 4,667 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·4,5·4,5 = 203,6 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 1,5·3³/12 = 3,375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,5 + 3,375/(4,5·4,5) = 4,667 m

Resposta

y_cp = 4,667 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 368 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(75/50)² = 2,25 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 2,25²)/1000 = −2,031 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 370 + (−2,031) = 368 kPa

Resposta

p₂ = 368 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 256,8 kPa

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,5·(75/50)² = 3,375 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,5² − 3,375²)/1000 = −4,57 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 330 + (−4,57) − 68,67 = 256,8 kPa

Resposta

p₂ = 256,8 kPa

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 0,306 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,015/0,01767 = 0,8488 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 0,8488²/(2·9,81) = 0,03672 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(50/0,15)·0,8488²/(2·9,81) = 0,306 m

Resposta

h_f = 0,306 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 7,403 m

Velocidade

V = Q/A = 0,06/0,01767 = 3,395 m/s

V²/(2g) = 0,5876 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,015·100/0,15 = 10

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6

Perda de carga total

h_f = 10·0,5876 = 5,876 m

h_m = 2,6·0,5876 = 1,528 m

Δz = h_f + h_m = 7,403 m

Resposta

Δz = 7,403 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 3,116 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·18 = 2,649 kW

Potência no eixo

P_shaft = P_h/η = 2,649/0,85 = 3,116 kW

Resposta

P_shaft = 3,116 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 20,97 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 6)·0,3046 = 9,138 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 6 + 9,138 = 15,14 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·15,14/0,85 = 20,97 kW

Resposta

P_shaft = 20,97 kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 4,983 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (6 + 2·1)·1 = 8 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1·√(1 + 2²) = 10,47 m

R = A/P = 0,7639 m

Velocidade

V = (1/0,03)·0,7639^2/3·0,0005^1/2 = 0,6229 m/s

Vazão

Q = A·V = 8·0,6229 = 4,983 m³/s

Resposta

Q = 4,983 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,003987 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (4 + 1·0,6)·0,6 = 2,76 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·0,6·√(1 + 1²) = 5,697 m

R = A/P = 0,4845 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·4,3/(2,76·0,6168) = 0,06314

S = 0,06314² = 0,003987

Resposta

S = 0,003987

Isso é um desnível de 3,987 m por quilômetro.

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