Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 1,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

Um tubo de Pitot estático em um túnel de vento indica uma diferença de 150 Pa entre a pressão de estagnação e a pressão estática. A massa específica do ar é 1,2 kg/m³. Encontre a velocidade do ar v.

p₀ − p = 150 Paρ = 1,2 kg/m³

v = m/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Um medidor Venturi horizontal (entrada de 80 mm, garganta de 40 mm) transporta água. Um manômetro em U de mercúrio ligado entre a entrada e a garganta mostra uma diferença de nível de 340 mm. O coeficiente de descarga é 0,95. Encontre a vazão Q. Use ρ = 1000 kg/m³ para a água, 13 600 kg/m³ para o mercúrio e g = 9,81 m/s².

d₁ = 80 mmd₂ = 40 mmΔh = 340 mmC_d = 0,95ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 20 L/s em uma tubulação de 1000 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 20 L/sL = 1000 mD = 200 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 5) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 40 L/s?

Q = 40 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba com rendimento de 80% fornece 60 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 58 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo P_shaft necessária, em kW.

Q = 60 L/sH = 58 mη = 80%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 60 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 8 m mais alta. A tubulação tem 400 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 78%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 60 L/sΔz = 8 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 8η = 78%

P_shaft = kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal retangular de cascalho tem 2 m de largura. A água escoa uniformemente com 1,9 m de profundidade. n de Manning = 0,025 e a declividade do fundo é S = 0,002. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 2 my = 1,9 mn = 0,025S = 0,002

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Uma galeria de concreto com diâmetro interno de 450 mm (n de Manning = 0,013) deve atingir uma velocidade de autolimpeza de 1,2 m/s quando escoa exatamente cheia. Encontre a declividade mínima S (em m/m).

D = 450 mmn = 0,013V = 1,2 m/s

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 98,1 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·4 = 98,1 kN

Resposta

F = 98,1 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 3,308 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3,25·1,5 = 60,26 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 1·1,5³/12 = 0,2813 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,25 + 0,2813/(3,25·1,5) = 3,308 m

Resposta

y_cp = 3,308 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: v = 15,81 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli até o ponto de estagnação

O escoamento para na ponta, então sua energia cinética aparece como pressão adicional.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·150/1,2) = 15,81 m/s

Resposta

v = 15,81 m/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 11,3 L/s

Diferença de pressão pelo manômetro

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,34 = 42026 Pa

Velocidade na garganta

Continuidade e Bernoulli juntas dão a velocidade ideal na garganta.

β = 40/80 = 0,5

v₂ = √(2·42026/(1000·(1 − 0,0625))) = 9,469 m/s

Vazão real

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,95·0,001257·9,469 = 0,0113 m³/s = 11,3 L/s

Resposta

Q = 11,3 L/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 2,582 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²

V = Q/A = 0,02/0,03142 = 0,6366 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 0,6366²/(2·9,81) = 0,02066 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(1000/0,2)·0,6366²/(2·9,81) = 2,582 m

Resposta

h_f = 2,582 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 1,876 m

Velocidade

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,015·200/0,2 = 15

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Perda de carga total

h_f = 15·0,08263 = 1,239 m

h_m = 7,7·0,08263 = 0,6362 m

Δz = h_f + h_m = 1,876 m

Resposta

Δz = 1,876 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 42,67 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·58 = 34,14 kW

Potência no eixo

P_shaft = P_h/η = 34,14/0,8 = 42,67 kW

Resposta

P_shaft = 42,67 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 14,17 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 8)·0,1859 = 10,78 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 8 + 10,78 = 18,78 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,06·18,78/0,78 = 14,17 kW

Resposta

P_shaft = 14,17 kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 5,128 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = b·y = 2·1,9 = 3,8 m²

P = b + 2y = 2 + 2·1,9 = 5,8 m

R = A/P = 0,6552 m

Velocidade

V = (1/0,025)·0,6552^2/3·0,002^1/2 = 1,349 m/s

Vazão

Q = A·V = 3,8·1,349 = 5,128 m³/s

Resposta

Q = 5,128 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,004481 m/m

Raio hidráulico

R = D/4 = 0,45/4 = 0,1125 m

Resolver Manning para S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1,2/0,233)² = 0,004481

Resposta

S = 0,004481

Isso é um desnível de 4,481 m por quilômetro.

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