Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água do mar, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 3 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

Um tubo de Pitot estático em um túnel de vento indica uma diferença de 1500 Pa entre a pressão de estagnação e a pressão estática. A massa específica do ar é 1,2 kg/m³. Encontre a velocidade do ar v.

p₀ − p = 1500 Paρ = 1,2 kg/m³

v = m/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

A água sobe por um tubo que se estreita de 100 mm para 50 mm enquanto sobe 4 m. Na seção 1 a pressão é 310 kPa e a velocidade é 1,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ na seção 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 310 kPav₁ = 1,5 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 1,4 m/s em uma tubulação horizontal de 1000 m de comprimento e diâmetro interno de 200 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.

V = 1,4 m/sL = 1000 mD = 200 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 300 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025. A superfície da água do reservatório superior está 27 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 10) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.

Δz = 27 mL = 300 mD = 300 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba fornece 10 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 66 m. O rendimento da bomba é 82% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 94%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica P_el consumida pelo motor, em kW.

Q = 10 L/sH = 66 mη_pump = 82%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 75 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 12 m mais alta. A tubulação tem 400 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 400 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 75 L/sΔz = 12 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 6p_tank = 400 kPa

H = m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de terra revestida de grama tem largura de fundo de 1,5 m e taludes de 1:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 1,5 m de profundidade. n de Manning = 0,03 e a declividade do fundo é S = 0,002. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 1,5 my = 1,5 mz = 1n = 0,03S = 0,002

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal retangular de terra limpa com 4,5 m de largura deve transportar 13 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1,1 m. n de Manning = 0,022. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 13 m³/sb = 4,5 my = 1,1 mn = 0,022

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 176,6 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·6 = 176,6 kN

Resposta

F = 176,6 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 52,79 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3,5·1,5 = 52,79 kN

Resposta

F = 52,79 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: v = 50 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli até o ponto de estagnação

O escoamento para na ponta, então sua energia cinética aparece como pressão adicional.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·1500/1,2) = 50 m/s

Resposta

v = 50 m/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 253,9 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,5·(100/50)² = 6 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,5² − 6²)/1000 = −16,88 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 310 + (−16,88) − 39,24 = 253,9 kPa

Resposta

p₂ = 253,9 kPa

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δp = 107,8 kPa

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Perda de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(1000/0,2)·1,4²/(2·9,81) = 10,99 m

Queda de pressão

A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·10,99 = 107800 Pa = 107,8 kPa

Resposta

Δp = 107,8 kPa

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Q = 265 L/s

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,025·300/0,3 = 25

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Equação da energia

As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.

27 = (25 + 12,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·27/37,7) = 3,749 m/s

Vazão

Q = V·π·D²/4 = 3,749·0,07069 = 0,265 m³/s = 265 L/s

Resposta

Q = 265 L/s

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_el = 8,4 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·66 = 6,475 kW

Potência no eixo

P_shaft = 6,475/0,82 = 7,896 kW

Potência elétrica

P_el = 7,896/0,94 = 8,4 kW

Resposta

P_el = 8,4 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 66,14 m

Velocidade

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 6)·0,2905 = 13,36 m

Carga de pressão

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 12 + 40,77 + 13,36 = 66,14 m

Resposta

H = 66,14 m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 5,702 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 1·1,5)·1,5 = 4,5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·1,5·√(1 + 1²) = 5,743 m

R = A/P = 0,7836 m

Velocidade

V = (1/0,03)·0,7836^2/3·0,002^1/2 = 1,267 m/s

Vazão

Q = A·V = 4,5·1,267 = 5,702 m³/s

Resposta

Q = 5,702 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,004998 m/m

Geometria

A = b·y = 4,5·1,1 = 4,95 m²

P = b + 2y = 4,5 + 2·1,1 = 6,7 m

R = A/P = 0,7388 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·13/(4,95·0,8172) = 0,0707

S = 0,0707² = 0,004998

Resposta

S = 0,004998

Isso é um desnível de 4,998 m por quilômetro.

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