Força hidrostática
- Pressão em uma profundidade
- p = ρgh
- Força em uma parede vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de pressão
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Retângulo
- Ic = bH³/12
Hidráulica: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Continuidade e Bernoulli
- Continuidade
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Vazão
- Q = A·v
- Área do círculo
- A = πd²/4
Atrito em tubulações e perda de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime de escoamento
- laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
- Velocidade média
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
- Queda de pressão
- Δp = ρ·g·hf
- Dois reservatórios abertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Saída livre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas e potência de bombas
- Potência hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potência no eixo
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potência elétrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura manométrica da bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdas do sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Escoamento em canais abertos (Manning)
- Equação de Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Vazão
- Q = A·V
- Raio hidráulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Retângulo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapézio (talude z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circular, cheio ou meio cheio
- R = D/4
- Declividade necessária
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Exercícios
1.Força hidrostáticaMédia
Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 0,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidade e BernoulliMédia
Água escoa de um grande tanque aberto por um orifício de borda viva com diâmetro de 40 mm. O nível da água é mantido 5 m acima do orifício e o coeficiente de descarga é 0,64. Encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².
d = 40 mmh = 5 mCd = 0,64g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Continuidade e BernoulliDifícil
A água sobe por um tubo que se estreita de 100 mm para 50 mm enquanto sobe 7 m. Na seção 1 a pressão é 300 kPa e a velocidade é 2 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 na seção 2.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 300 kPav1 = 2 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 1,3 m/s em uma tubulação horizontal de 1000 m de comprimento e diâmetro interno de 200 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.
V = 1,3 m/sL = 1000 mD = 200 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 400 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 100 L/s?
Q = 100 L/sL = 400 mD = 200 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Δz = m
7.Bombas e potência de bombasMédia
Uma bomba com rendimento de 78% fornece 80 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 68 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo Pshaft necessária, em kW.
Q = 80 L/sH = 68 mη = 78%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Bombas e potência de bombasDifícil
Uma bomba transporta 75 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 15 m mais alta. A tubulação tem 300 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 250 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.
Q = 75 L/sΔz = 15 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 8ptank = 250 kPa
H = m
9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média
Um canal retangular de concreto sem acabamento tem 5,5 m de largura. A água escoa uniformemente com 2,4 m de profundidade. n de Manning = 0,014 e a declividade do fundo é S = 0,004. Encontre a vazão Q em m³/s.
b = 5,5 my = 2,4 mn = 0,014S = 0,004
Q = m³/s
10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil
Uma galeria de concreto com diâmetro interno de 375 mm (n de Manning = 0,013) deve atingir uma velocidade de autolimpeza de 0,9 m/s quando escoa exatamente cheia. Encontre a declividade mínima S (em m/m).
D = 375 mmn = 0,013V = 0,9 m/s
S = m/m
3Soluções
1.Força hidrostática
Resposta: F = 176,6 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·9 = 176,6 kN
Resposta
F = 176,6 kN
2.Força hidrostática
Resposta: F = 309 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,5·9 = 309 kN
Resposta
F = 309 kN
3.Continuidade e Bernoulli
Resposta: Q = 7,966 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocidade ideal do jato
√(2gh) = √(2·9,81·5) = 9,905 m/s
Vazão real
O coeficiente de descarga leva em conta a contração do jato e o atrito na borda.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,64·0,001257·9,905 = 0,007966 m³/s = 7,966 L/s
Resposta
Q = 7,966 L/s
4.Continuidade e Bernoulli
Resposta: p2 = 201,3 kPa
Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.
Continuidade e Bernoulli
Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(100/50)² = 8 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 8²)/1000 = −30 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 300 + (−30) − 68,67 = 201,3 kPa
Resposta
p2 = 201,3 kPa
5.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Δp = 105,6 kPa
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Perda de carga
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(1000/0,2)·1,3²/(2·9,81) = 10,77 m
Queda de pressão
A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·10,77 = 105625 Pa = 105,6 kPa
Resposta
Δp = 105,6 kPa
6.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Δz = 17,76 m
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Velocidade
V = Q/A = 0,1/0,03142 = 3,183 m/s
V²/(2g) = 0,5164 m
Coeficientes de perda
f·L/D = 0,015·400/0,2 = 30
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4
Perda de carga total
hf = 30·0,5164 = 15,49 m
hm = 4,4·0,5164 = 2,272 m
Δz = hf + hm = 17,76 m
Resposta
Δz = 17,76 m
7.Bombas e potência de bombas
Resposta: Pshaft = 68,42 kW
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·68 = 53,37 kW
Potência no eixo
Pshaft = Ph/η = 53,37/0,78 = 68,42 kW
Resposta
Pshaft = 68,42 kW
8.Bombas e potência de bombas
Resposta: H = 51,52 m
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Velocidade
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m
Perdas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0,2905 = 11,04 m
Carga de pressão
p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m
Altura manométrica da bomba
As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 15 + 25,48 + 11,04 = 51,52 m
Resposta
H = 51,52 m
9.Escoamento em canais abertos (Manning)
Resposta: Q = 70,36 m³/s
Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.
Geometria
A = b·y = 5,5·2,4 = 13,2 m²
P = b + 2y = 5,5 + 2·2,4 = 10,3 m
R = A/P = 1,282 m
Velocidade
V = (1/0,014)·1,2822/3·0,0041/2 = 5,33 m/s
Vazão
Q = A·V = 13,2·5,33 = 70,36 m³/s
Resposta
Q = 70,36 m³/s
10.Escoamento em canais abertos (Manning)
Resposta: S = 0,003214 m/m
Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.
Raio hidráulico
R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m
Resolver Manning para S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·0,9/0,2064)² = 0,003214
Resposta
S = 0,003214
Isso é um desnível de 3,214 m por quilômetro.
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