Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 0,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 0,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 100 mm para 40 mm. No trecho largo a pressão é 230 kPa e a velocidade é 1,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ no trecho estreito.

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 230 kPav₁ = 1,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Um tanque de água fechado tem ar comprimido acima da água a uma pressão manométrica de 140 kPa. A água sai por uma abertura com diâmetro de 40 mm, 4 m abaixo da superfície da água, para o ar livre. Desprezando as perdas, encontre a velocidade do jato v. Use g = 9,81 m/s².

p_air = 140 kPa (manométrica)h = 4 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 2,2 m/s em uma tubulação horizontal de 1000 m de comprimento e diâmetro interno de 100 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.

V = 2,2 m/sL = 1000 mD = 100 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 500 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018. A superfície da água do reservatório superior está 22 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.

Δz = 22 mL = 500 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas e potência de bombasMédia

Em um ensaio, uma bomba fornece 25 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 32 m enquanto seu eixo absorve 12,1 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 25 L/sH = 32 mP_shaft = 12,1 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 80 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 8 m mais alta. A tubulação tem 150 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 3 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 75%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 80 L/sΔz = 8 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 3η = 75%

P_shaft = kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de alvenaria de tijolos tem largura de fundo de 3 m e taludes de 1:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 1,2 m de profundidade. n de Manning = 0,015 e a declividade do fundo é S = 0,005. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 3 my = 1,2 mz = 1n = 0,015S = 0,005

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal trapezoidal de alvenaria de tijolos com largura de fundo de 2,5 m e taludes de 2:1 (horizontal:vertical) deve transportar 3,8 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 0,6 m. n de Manning = 0,015. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 3,8 m³/sb = 2,5 my = 0,6 mz = 2n = 0,015

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 58,86 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·3 = 58,86 kN

Resposta

F = 58,86 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 1,083 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·1·2 = 24,72 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0,1667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1 + 0,1667/(1·2) = 1,083 m

Resposta

y_cp = 1,083 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 187,2 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,5·(100/40)² = 9,375 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,5² − 9,375²)/1000 = −42,82 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 230 + (−42,82) = 187,2 kPa

Resposta

p₂ = 187,2 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: v = 18,93 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli da superfície até o jato

v = √(2·(140000/1000 + 9,81·4)) = 18,93 m/s

Resposta

v = 18,93 m/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δp = 726 kPa

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Perda de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(1000/0,1)·2,2²/(2·9,81) = 74,01 m

Queda de pressão

A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·74,01 = 726000 Pa = 726 kPa

Resposta

Δp = 726 kPa

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Q = 251,5 L/s

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,018·500/0,3 = 30

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Equação da energia

As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.

22 = (30 + 4,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·22/34,1) = 3,558 m/s

Vazão

Q = V·π·D²/4 = 3,558·0,07069 = 0,2515 m³/s = 251,5 L/s

Resposta

Q = 251,5 L/s

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 64,86 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·32 = 7,848 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 7,848/12,1 = 64,86%

Resposta

η = 64,86%

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 14,6 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 3)·0,3305 = 5,949 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 8 + 5,949 = 13,95 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·13,95/0,75 = 14,6 kW

Resposta

P_shaft = 14,6 kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 20,27 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (3 + 1·1,2)·1,2 = 5,04 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1,2·√(1 + 1²) = 6,394 m

R = A/P = 0,7882 m

Velocidade

V = (1/0,015)·0,7882^2/3·0,005^1/2 = 4,022 m/s

Vazão

Q = A·V = 5,04·4,022 = 20,27 m³/s

Resposta

Q = 20,27 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,002042 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 2·0,6)·0,6 = 2,22 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·0,6·√(1 + 2²) = 5,183 m

R = A/P = 0,4283 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·3,8/(2,22·0,5682) = 0,04519

S = 0,04519² = 0,002042

Resposta

S = 0,002042

Isso é um desnível de 2,042 m por quilômetro.

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