Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 4 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água do mar, com a borda superior 1 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 1 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa de um grande tanque aberto por um orifício de borda viva com diâmetro de 50 mm. O nível da água é mantido 1 m acima do orifício e o coeficiente de descarga é 0,63. Encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².

d = 50 mmh = 1 mC_d = 0,63g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Uma mangueira com diâmetro interno de 25 mm sifona água de um tanque aberto. O ponto mais alto C da mangueira está 2 m acima da superfície da água, e a saída (aberta para o ar) está 1,5 m abaixo da superfície da água. Despreze as perdas e use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q.

d = 25 mmz_C = +2 mz₂ = −1,5 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 1,6 m/s em uma tubulação horizontal de 500 m de comprimento e diâmetro interno de 200 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.

V = 1,6 m/sL = 500 mD = 200 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,018) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 5). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5

H = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba fornece 10 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 78 m. O rendimento da bomba é 78% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 95%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica P_el consumida pelo motor, em kW.

Q = 10 L/sH = 78 mη_pump = 78%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 120 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 7 m mais alta. A tubulação tem 300 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 5 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 120 L/sΔz = 7 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 5

H = m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de concreto sem acabamento tem largura de fundo de 4 m e taludes de 2:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 1,1 m de profundidade. n de Manning = 0,014 e a declividade do fundo é S = 0,0005. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 4 my = 1,1 mz = 2n = 0,014S = 0,0005

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal trapezoidal de terra revestida de grama com largura de fundo de 4 m e taludes de 3:1 (horizontal:vertical) deve transportar 11 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1 m. n de Manning = 0,03. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 11 m³/sb = 4 my = 1 mz = 3n = 0,03

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 139,8 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,75·3 = 139,8 kN

Resposta

F = 139,8 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 52,79 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1,75·3 = 52,79 kN

Resposta

F = 52,79 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 5,479 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidade ideal do jato

√(2gh) = √(2·9,81·1) = 4,429 m/s

Vazão real

O coeficiente de descarga leva em conta a contração do jato e o atrito na borda.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,63·0,001963·4,429 = 0,005479 m³/s = 5,479 L/s

Resposta

Q = 5,479 L/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 2,663 L/s

Velocidade na mangueira

A superfície e a saída estão as duas abertas para o ar, então os termos de pressão se cancelam.

v = √(2g·1,5) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s

Vazão

Q = A·v = 0,0004909·5,425 = 0,002663 m³/s = 2,663 L/s

Resposta

Q = 2,663 L/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δp = 80 kPa

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Perda de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(500/0,2)·1,6²/(2·9,81) = 8,155 m

Queda de pressão

A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·8,155 = 80000 Pa = 80 kPa

Resposta

Δp = 80 kPa

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 8,624 m

Velocidade

V = Q/A = 0,1/0,03142 = 3,183 m/s

V²/(2g) = 0,5164 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,018·100/0,2 = 9

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 = 6,7

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 9 + 6,7)·0,5164 = 8,624 m

Resposta

H = 8,624 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_el = 10,33 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·78 = 7,652 kW

Potência no eixo

P_shaft = 7,652/0,78 = 9,81 kW

Potência elétrica

P_el = 9,81/0,95 = 10,33 kW

Resposta

P_el = 10,33 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 17,66 m

Velocidade

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 5)·0,3046 = 10,66 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.

H = Δz + h_L = 7 + 10,66 = 17,66 m

Resposta

H = 17,66 m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 9,108 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (4 + 2·1,1)·1,1 = 6,82 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1,1·√(1 + 2²) = 8,919 m

R = A/P = 0,7646 m

Velocidade

V = (1/0,014)·0,7646^2/3·0,0005^1/2 = 1,336 m/s

Vazão

Q = A·V = 6,82·1,336 = 9,108 m³/s

Resposta

Q = 9,108 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,003731 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (4 + 3·1)·1 = 7 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1·√(1 + 3²) = 10,32 m

R = A/P = 0,678 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·11/(7·0,7718) = 0,06108

S = 0,06108² = 0,003731

Resposta

S = 0,003731

Isso é um desnível de 3,731 m por quilômetro.

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