Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 4 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa de um grande tanque aberto por um orifício de borda viva com diâmetro de 30 mm. O nível da água é mantido 4 m acima do orifício e o coeficiente de descarga é 0,63. Encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².

d = 30 mmh = 4 mC_d = 0,63g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

A água sobe por um tubo que se estreita de 75 mm para 40 mm enquanto sobe 5 m. Na seção 1 a pressão é 120 kPa e a velocidade é 2,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ na seção 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 120 kPav₁ = 2,5 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 6 L/s em uma tubulação de 1000 m de comprimento com diâmetro interno de 100 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 6 L/sL = 1000 mD = 100 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,02) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 10). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10

H = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba com rendimento de 80% fornece 100 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 14 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo P_shaft necessária, em kW.

Q = 100 L/sH = 14 mη = 80%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 60 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 8 m mais alta. A tubulação tem 600 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,022; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 75%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 60 L/sΔz = 8 mL = 600 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 6η = 75%

P_shaft = kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de concreto acabado tem largura de fundo de 1,5 m e taludes de 2:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 1,1 m de profundidade. n de Manning = 0,012 e a declividade do fundo é S = 0,001. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 1,5 my = 1,1 mz = 2n = 0,012S = 0,001

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal retangular de concreto sem acabamento com 4,5 m de largura deve transportar 4,2 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 0,7 m. n de Manning = 0,014. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 4,2 m³/sb = 4,5 my = 0,7 mn = 0,014

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 161,9 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,5·3 = 161,9 kN

Resposta

F = 161,9 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 2,939 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·2,5 = 67,44 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,75 + 1,302/(2,75·2,5) = 2,939 m

Resposta

y_cp = 2,939 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 3,945 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidade ideal do jato

√(2gh) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s

Vazão real

O coeficiente de descarga leva em conta a contração do jato e o atrito na borda.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,63·0,0007069·8,859 = 0,003945 m³/s = 3,945 L/s

Resposta

Q = 3,945 L/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 35,45 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,5·(75/40)² = 8,789 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,5² − 8,789²)/1000 = −35,5 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·5/1000 = 49,05 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 120 + (−35,5) − 49,05 = 35,45 kPa

Resposta

p₂ = 35,45 kPa

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 8,924 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²

V = Q/A = 0,006/0,007854 = 0,7639 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 0,7639²/(2·9,81) = 0,02975 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(1000/0,1)·0,7639²/(2·9,81) = 8,924 m

Resposta

h_f = 8,924 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 5,161 m

Velocidade

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,02·150/0,25 = 12

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 = 11,4

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 12 + 11,4)·0,2115 = 5,161 m

Resposta

H = 5,161 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 17,17 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·14 = 13,73 kW

Potência no eixo

P_shaft = P_h/η = 13,73/0,8 = 17,17 kW

Resposta

P_shaft = 17,17 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 16,78 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (66 + 6)·0,1859 = 13,39 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 8 + 13,39 = 21,39 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,06·21,39/0,75 = 16,78 kW

Resposta

P_shaft = 16,78 kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 7,916 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 2·1,1)·1,1 = 4,07 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·1,1·√(1 + 2²) = 6,419 m

R = A/P = 0,634 m

Velocidade

V = (1/0,012)·0,634^2/3·0,001^1/2 = 1,945 m/s

Vazão

Q = A·V = 4,07·1,945 = 7,916 m³/s

Resposta

Q = 7,916 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,0008045 m/m

Geometria

A = b·y = 4,5·0,7 = 3,15 m²

P = b + 2y = 4,5 + 2·0,7 = 5,9 m

R = A/P = 0,5339 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·4,2/(3,15·0,6581) = 0,02836

S = 0,02836² = 0,0008045

Resposta

S = 0,0008045

Isso é um desnível de 0,8045 m por quilômetro.

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