Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 1 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 3 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa a 12 L/s por um tubo horizontal que se estreita de 150 mm para 75 mm. A pressão no trecho estreito é 180 kPa. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₁ no trecho largo.

Q = 12 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₂ = 180 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

O bocal de uma fonte aponta para cima na vertical. Logo abaixo do bocal o tubo de alimentação tem diâmetro de 50 mm e pressão manométrica de 110 kPa. O diâmetro de saída do bocal é 20 mm, e a diferença de altura ao longo do bocal é desprezível. Desprezando as perdas e a resistência do ar, encontre a altura H que o jato sobe acima do bocal. Use g = 9,81 m/s².

d₁ = 50 mmp₁ = 110 kPa (manométrica)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa com velocidade média de 1,3 m/s em uma tubulação de 500 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

V = 1,3 m/sL = 500 mD = 200 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 100 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 15 L/s?

Q = 15 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Em um ensaio, uma bomba fornece 30 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 26 m enquanto seu eixo absorve 12,8 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 30 L/sH = 26 mP_shaft = 12,8 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 80 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 10 m mais alta. A tubulação tem 150 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,022; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 400 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 80 L/sΔz = 10 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 6p_tank = 400 kPa

H = m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de alvenaria de tijolos tem largura de fundo de 1 m e taludes de 1,5:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 1 m de profundidade. n de Manning = 0,015 e a declividade do fundo é S = 0,002. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 1 my = 1 mz = 1,5n = 0,015S = 0,002

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal trapezoidal de terra revestida de grama com largura de fundo de 2 m e taludes de 2:1 (horizontal:vertical) deve transportar 13 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1,7 m. n de Manning = 0,03. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 13 m³/sb = 2 my = 1,7 mz = 2n = 0,03

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 73,58 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·3 = 73,58 kN

Resposta

F = 73,58 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 4,083 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·3 = 117,7 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 1/(4·3) = 4,083 m

Resposta

y_cp = 4,083 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₁ = 183,5 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidades

v₁ = Q/A₁ = 0,012/0,01767 = 0,6791 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,012/0,004418 = 2,716 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 180 + ½·1000·(2,716² − 0,6791²)/1000 = 180 + 3,458 = 183,5 kPa

Resposta

p₁ = 183,5 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: H = 11,51 m

Velocidade de saída

β = 20/50 = 0,4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·110000/(1000·0,9744)) = 15,03 m/s

Altura do jato

Bernoulli ao longo do jato: no topo a velocidade é zero e a pressão volta a ser a atmosférica.

H = v₂²/(2g) = 15,03²/(2·9,81) = 11,51 m

Resposta

H = 11,51 m

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 3,876 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Carga cinética

V²/(2g) = 1,3²/(2·9,81) = 0,08614 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(500/0,2)·1,3²/(2·9,81) = 3,876 m

Resposta

h_f = 3,876 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 4,592 m

Velocidade

V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,02·100/0,1 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Perda de carga total

h_f = 20·0,1859 = 3,718 m

h_m = 4,7·0,1859 = 0,8738 m

Δz = h_f + h_m = 4,592 m

Resposta

Δz = 4,592 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 59,78 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·26 = 7,652 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 7,652/12,8 = 59,78%

Resposta

η = 59,78%

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 53,37 m

Velocidade

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

V²/(2g) = 0,1354 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13,2 + 6)·0,1354 = 2,599 m

Carga de pressão

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 10 + 40,77 + 2,599 = 53,37 m

Resposta

H = 53,37 m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 4,96 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1 + 1,5·1)·1 = 2,5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1·√(1 + 1,5²) = 4,606 m

R = A/P = 0,5428 m

Velocidade

V = (1/0,015)·0,5428^2/3·0,002^1/2 = 1,984 m/s

Vazão

Q = A·V = 2,5·1,984 = 4,96 m³/s

Resposta

Q = 4,96 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,001916 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (2 + 2·1,7)·1,7 = 9,18 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·1,7·√(1 + 2²) = 9,603 m

R = A/P = 0,956 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·13/(9,18·0,9704) = 0,04378

S = 0,04378² = 0,001916

Resposta

S = 0,001916

Isso é um desnível de 1,916 m por quilômetro.

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