Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água do mar, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 4 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa por um medidor Venturi horizontal com diâmetro de entrada de 200 mm e diâmetro da garganta de 100 mm. A pressão na entrada é 42 kPa maior que na garganta. Desprezando as perdas, encontre a vazão Q.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ − p₂ = 42 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Uma mangueira com diâmetro interno de 25 mm sifona água de um tanque aberto. O ponto mais alto C da mangueira está 1,5 m acima da superfície da água, e a saída (aberta para o ar) está 1 m abaixo da superfície da água. Despreze as perdas e use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q.

d = 25 mmz_C = +1,5 mz₂ = −1 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 75 L/s em uma tubulação de 400 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 75 L/sL = 400 mD = 250 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Uma tubulação de 300 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,015) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 5). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 120 L/s?

Q = 120 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5

H = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba com rendimento de 72% fornece 15 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 74 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo P_shaft necessária, em kW.

Q = 15 L/sH = 74 mη = 72%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 80 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 25 m mais alta. A tubulação tem 400 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 80%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 80 L/sΔz = 25 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 6η = 80%

P_shaft = kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Uma galeria de águas pluviais de concreto com diâmetro interno de 300 mm escoa a meia seção. n de Manning = 0,013 e a declividade é S = 0,004. Encontre a vazão Q em m³/s.

D = 300 mmn = 0,013S = 0,004

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal trapezoidal de alvenaria de tijolos com largura de fundo de 2,5 m e taludes de 3:1 (horizontal:vertical) deve transportar 39 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 2,1 m. n de Manning = 0,015. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 39 m³/sb = 2,5 my = 2,1 mz = 3n = 0,015

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 132,4 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·3 = 132,4 kN

Resposta

F = 132,4 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 5,349 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·5,25·3,75 = 198 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2,5³/12 = 1,953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5,25 + 1,953/(5,25·3,75) = 5,349 m

Resposta

y_cp = 5,349 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 74,34 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuidade

v₁ = v₂·(100/200)² = 0,25·v₂

Bernoulli entre a entrada e a garganta

O tubo é horizontal, então só a pressão e a velocidade mudam.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·42000/(1000·(1 − 0,0625))) = 9,466 m/s

v₁ = 2,366 m/s

Vazão

Q = A₂·v₂ = 0,007854·9,466 = 0,07434 m³/s = 74,34 L/s

Resposta

Q = 74,34 L/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 2,174 L/s

Velocidade na mangueira

A superfície e a saída estão as duas abertas para o ar, então os termos de pressão se cancelam.

v = √(2g·1) = √(2·9,81·1) = 4,429 m/s

Vazão

Q = A·v = 0,0004909·4,429 = 0,002174 m³/s = 2,174 L/s

Resposta

Q = 2,174 L/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 2,856 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 1,528²/(2·9,81) = 0,119 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(400/0,25)·1,528²/(2·9,81) = 2,856 m

Resposta

h_f = 2,856 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 7,828 m

Velocidade

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,015·300/0,25 = 18

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 = 6,7

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 18 + 6,7)·0,3046 = 7,828 m

Resposta

H = 7,828 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 15,12 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·74 = 10,89 kW

Potência no eixo

P_shaft = P_h/η = 10,89/0,72 = 15,12 kW

Resposta

P_shaft = 15,12 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 38,14 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 6)·0,3305 = 13,88 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 25 + 13,88 = 38,88 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·38,88/0,8 = 38,14 kW

Resposta

P_shaft = 38,14 kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 0,03058 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = 0,03534 m², R = D/4 = 0,075 m

Velocidade

V = (1/0,013)·0,075^2/3·0,004^1/2 = 0,8652 m/s

Vazão

Q = A·V = 0,03534·0,8652 = 0,03058 m³/s

Resposta

Q = 0,03058 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,0008119 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 3·2,1)·2,1 = 18,48 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·2,1·√(1 + 3²) = 15,78 m

R = A/P = 1,171 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·39/(18,48·1,111) = 0,02849

S = 0,02849² = 0,0008119

Resposta

S = 0,0008119

Isso é um desnível de 0,8119 m por quilômetro.

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