Força hidrostática
- Pressão em uma profundidade
- p = ρgh
- Força em uma parede vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de pressão
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Retângulo
- Ic = bH³/12
Hidráulica: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Continuidade e Bernoulli
- Continuidade
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Vazão
- Q = A·v
- Área do círculo
- A = πd²/4
Atrito em tubulações e perda de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime de escoamento
- laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
- Velocidade média
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
- Queda de pressão
- Δp = ρ·g·hf
- Dois reservatórios abertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Saída livre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas e potência de bombas
- Potência hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potência no eixo
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potência elétrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura manométrica da bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdas do sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Escoamento em canais abertos (Manning)
- Equação de Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Vazão
- Q = A·V
- Raio hidráulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Retângulo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapézio (talude z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circular, cheio ou meio cheio
- R = D/4
- Declividade necessária
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Exercícios
1.Força hidrostáticaMédia
Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 1 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 4 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidade e BernoulliMédia
A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 75 mm para 25 mm. No trecho largo a pressão é 300 kPa e a velocidade é 1,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 no trecho estreito.
d1 = 75 mmd2 = 25 mmp1 = 300 kPav1 = 1,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuidade e BernoulliDifícil
Uma mangueira com diâmetro interno de 50 mm sifona água de um tanque aberto. O ponto mais alto C da mangueira está 2,5 m acima da superfície da água, e a saída (aberta para o ar) está 1,5 m abaixo da superfície da água. Despreze as perdas e use g = 9,81 m/s². Encontre a pressão absoluta pC no ponto C. A pressão atmosférica é 101,3 kPa.
d = 50 mmzC = +2,5 mz2 = −1,5 mg = 9,81 m/s²patm = 101,3 kPa
pC = kPa
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 1,4 m/s em uma tubulação horizontal de 200 m de comprimento e diâmetro interno de 150 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.
V = 1,4 m/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015. A superfície da água do reservatório superior está 6 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 0,2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.
Δz = 6 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 0,2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas e potência de bombasMédia
Em um ensaio, uma bomba fornece 25 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 70 m enquanto seu eixo absorve 20,9 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.
Q = 25 L/sH = 70 mPshaft = 20,9 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Bombas e potência de bombasDifícil
Uma bomba transporta 50 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 12 m mais alta. A tubulação tem 150 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.
Q = 50 L/sΔz = 12 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 8
H = m
9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média
Uma galeria de águas pluviais de concreto com diâmetro interno de 1200 mm escoa a meia seção. n de Manning = 0,013 e a declividade é S = 0,0005. Encontre a vazão Q em m³/s.
D = 1200 mmn = 0,013S = 0,0005
Q = m³/s
10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil
Um canal trapezoidal de alvenaria de tijolos com largura de fundo de 5 m e taludes de 1,5:1 (horizontal:vertical) deve transportar 22 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1,2 m. n de Manning = 0,015. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).
Q = 22 m³/sb = 5 my = 1,2 mz = 1,5n = 0,015
S = m/m
3Soluções
1.Força hidrostática
Resposta: F = 51,5 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 1,5·2 = 3 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,75·3 = 51,5 kN
Resposta
F = 51,5 kN
2.Força hidrostática
Resposta: F = 486,7 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·5,25·7,5 = 486,7 kN
Resposta
F = 486,7 kN
3.Continuidade e Bernoulli
Resposta: p2 = 210 kPa
Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.
Continuidade e Bernoulli
Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,5·(75/25)² = 13,5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,5² − 13,5²)/1000 = −90 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 300 + (−90) = 210 kPa
Resposta
p2 = 210 kPa
4.Continuidade e Bernoulli
Resposta: pC = 62,06 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocidade na mangueira
A superfície e a saída estão as duas abertas para o ar, então os termos de pressão se cancelam.
v = √(2g·1,5) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s
Bernoulli da superfície até C
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101,3 − 1000·(5,425²/2 + 9,81·2,5)/1000 = 101,3 − 39,24 = 62,06 kPa
Resposta
pC = 62,06 kPa
Se essa pressão cair até a pressão de vapor da água, o sifão para de funcionar.
5.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Δp = 23,52 kPa
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Perda de carga
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(200/0,15)·1,4²/(2·9,81) = 2,398 m
Queda de pressão
A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·2,398 = 23520 Pa = 23,52 kPa
Resposta
Δp = 23,52 kPa
6.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Q = 140,8 L/s
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Coeficientes de perda
f·L/D = 0,015·200/0,25 = 12
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,3
Equação da energia
As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.
6 = (12 + 2,3)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·6/14,3) = 2,869 m/s
Vazão
Q = V·π·D²/4 = 2,869·0,04909 = 0,1408 m³/s = 140,8 L/s
Resposta
Q = 140,8 L/s
7.Bombas e potência de bombas
Resposta: η = 82,14 %
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·70 = 17,17 kW
Rendimento
η = Ph/Pshaft = 17,17/20,9 = 82,14%
Resposta
η = 82,14%
8.Bombas e potência de bombas
Resposta: H = 14,97 m
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Velocidade
V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s
V²/(2g) = 0,1291 m
Perdas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 8)·0,1291 = 2,969 m
Altura manométrica da bomba
As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.
H = Δz + hL = 12 + 2,969 = 14,97 m
Resposta
H = 14,97 m
9.Escoamento em canais abertos (Manning)
Resposta: Q = 0,4359 m³/s
Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.
Geometria
A = 0,5655 m², R = D/4 = 0,3 m
Velocidade
V = (1/0,013)·0,32/3·0,00051/2 = 0,7708 m/s
Vazão
Q = A·V = 0,5655·0,7708 = 0,4359 m³/s
Resposta
Q = 0,4359 m³/s
10.Escoamento em canais abertos (Manning)
Resposta: S = 0,001954 m/m
Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (5 + 1,5·1,2)·1,2 = 8,16 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1,2·√(1 + 1,5²) = 9,327 m
R = A/P = 0,8749 m
Resolver Manning para S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,015·22/(8,16·0,9148) = 0,04421
S = 0,04421² = 0,001954
Resposta
S = 0,001954
Isso é um desnível de 1,954 m por quilômetro.
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