Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 0,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa a 35 L/s por um tubo horizontal que se estreita de 150 mm para 100 mm. A pressão no trecho estreito é 130 kPa. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₁ no trecho largo.

Q = 35 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₂ = 130 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Um medidor Venturi horizontal (entrada de 80 mm, garganta de 40 mm) transporta água. Um manômetro em U de mercúrio ligado entre a entrada e a garganta mostra uma diferença de nível de 400 mm. O coeficiente de descarga é 0,98. Encontre a vazão Q. Use ρ = 1000 kg/m³ para a água, 13 600 kg/m³ para o mercúrio e g = 9,81 m/s².

d₁ = 80 mmd₂ = 40 mmΔh = 400 mmC_d = 0,98ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 2 m/s em uma tubulação horizontal de 500 m de comprimento e diâmetro interno de 100 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.

V = 2 m/sL = 500 mD = 100 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018. A superfície da água do reservatório superior está 26 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 5) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.

Δz = 26 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba com rendimento de 72% fornece 80 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 32 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo P_shaft necessária, em kW.

Q = 80 L/sH = 32 mη = 72%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 120 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 6 m mais alta. A tubulação tem 100 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 3 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 120 L/sΔz = 6 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 3

H = m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Uma galeria de águas pluviais de concreto com diâmetro interno de 600 mm escoa a meia seção. n de Manning = 0,013 e a declividade é S = 0,003. Encontre a vazão Q em m³/s.

D = 600 mmn = 0,013S = 0,003

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal retangular de terra limpa com 4 m de largura deve transportar 3,4 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 0,9 m. n de Manning = 0,022. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 3,4 m³/sb = 4 my = 0,9 mn = 0,022

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 176,6 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·9 = 176,6 kN

Resposta

F = 176,6 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 120,5 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3,25·3 = 120,5 kN

Resposta

F = 120,5 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₁ = 138 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidades

v₁ = Q/A₁ = 0,035/0,01767 = 1,981 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,035/0,007854 = 4,456 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 130 + ½·1000·(4,456² − 1,981²)/1000 = 130 + 7,968 = 138 kPa

Resposta

p₁ = 138 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 12,65 L/s

Diferença de pressão pelo manômetro

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,4 = 49442 Pa

Velocidade na garganta

Continuidade e Bernoulli juntas dão a velocidade ideal na garganta.

β = 40/80 = 0,5

v₂ = √(2·49442/(1000·(1 − 0,0625))) = 10,27 m/s

Vazão real

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,98·0,001257·10,27 = 0,01265 m³/s = 12,65 L/s

Resposta

Q = 12,65 L/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δp = 300 kPa

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Perda de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(500/0,1)·2²/(2·9,81) = 30,58 m

Queda de pressão

A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·30,58 = 300000 Pa = 300 kPa

Resposta

Δp = 300 kPa

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Q = 79,19 L/s

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,018·150/0,15 = 18

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Equação da energia

As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.

26 = (18 + 7,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·26/25,4) = 4,481 m/s

Vazão

Q = V·π·D²/4 = 4,481·0,01767 = 0,07919 m³/s = 79,19 L/s

Resposta

Q = 79,19 L/s

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 34,88 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·32 = 25,11 kW

Potência no eixo

P_shaft = P_h/η = 25,11/0,72 = 34,88 kW

Resposta

P_shaft = 34,88 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 9,351 m

Velocidade

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (8 + 3)·0,3046 = 3,351 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.

H = Δz + h_L = 6 + 3,351 = 9,351 m

Resposta

H = 9,351 m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 0,1682 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = 0,1414 m², R = D/4 = 0,15 m

Velocidade

V = (1/0,013)·0,15^2/3·0,003^1/2 = 1,189 m/s

Vazão

Q = A·V = 0,1414·1,189 = 0,1682 m³/s

Resposta

Q = 0,1682 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,0008154 m/m

Geometria

A = b·y = 4·0,9 = 3,6 m²

P = b + 2y = 4 + 2·0,9 = 5,8 m

R = A/P = 0,6207 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·3,4/(3,6·0,7276) = 0,02856

S = 0,02856² = 0,0008154

Resposta

S = 0,0008154

Isso é um desnível de 0,8154 m por quilômetro.

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