Força hidrostática
- Pressão em uma profundidade
- p = ρgh
- Força em uma parede vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de pressão
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Retângulo
- Ic = bH³/12
Hidráulica: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Continuidade e Bernoulli
- Continuidade
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Vazão
- Q = A·v
- Área do círculo
- A = πd²/4
Atrito em tubulações e perda de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime de escoamento
- laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
- Velocidade média
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
- Queda de pressão
- Δp = ρ·g·hf
- Dois reservatórios abertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Saída livre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas e potência de bombas
- Potência hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potência no eixo
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potência elétrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura manométrica da bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdas do sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Escoamento em canais abertos (Manning)
- Equação de Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Vazão
- Q = A·V
- Raio hidráulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Retângulo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapézio (talude z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circular, cheio ou meio cheio
- R = D/4
- Declividade necessária
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Exercícios
1.Força hidrostáticaMédia
Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 2,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 0,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidade e BernoulliMédia
Água escoa a 10 L/s por um tubo horizontal que se estreita de 100 mm para 75 mm. A pressão no trecho estreito é 190 kPa. Desprezando as perdas, encontre a pressão p1 no trecho largo.
Q = 10 L/sd1 = 100 mmd2 = 75 mmp2 = 190 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.Continuidade e BernoulliDifícil
A água sobe por um tubo que se estreita de 100 mm para 75 mm enquanto sobe 2 m. Na seção 1 a pressão é 300 kPa e a velocidade é 2,25 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 na seção 2.
d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 300 kPav1 = 2,25 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
Água escoa a 50 L/s em uma tubulação de 1000 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito hf.
Q = 50 L/sL = 1000 mD = 150 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018. A superfície da água do reservatório superior está 7 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 10) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.
Δz = 7 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas e potência de bombasMédia
Em um ensaio, uma bomba fornece 25 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 18 m enquanto seu eixo absorve 5,2 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.
Q = 25 L/sH = 18 mPshaft = 5,2 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Bombas e potência de bombasDifícil
Uma bomba transporta 50 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 15 m mais alta. A tubulação tem 200 m de comprimento, diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 250 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.
Q = 50 L/sΔz = 15 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 8ptank = 250 kPa
H = m
9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média
Um canal trapezoidal de concreto sem acabamento tem largura de fundo de 1 m e taludes de 3:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 1 m de profundidade. n de Manning = 0,014 e a declividade do fundo é S = 0,0005. Encontre a vazão Q em m³/s.
b = 1 my = 1 mz = 3n = 0,014S = 0,0005
Q = m³/s
10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil
Um canal trapezoidal de terra revestida de grama com largura de fundo de 2 m e taludes de 2:1 (horizontal:vertical) deve transportar 19 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1,7 m. n de Manning = 0,03. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).
Q = 19 m³/sb = 2 my = 1,7 mz = 2n = 0,03
S = m/m
3Soluções
1.Força hidrostática
Resposta: F = 71,74 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,25·2,25 = 71,74 kN
Resposta
F = 71,74 kN
2.Força hidrostática
Resposta: F = 14,71 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1·1,5 = 14,71 kN
Resposta
F = 14,71 kN
3.Continuidade e Bernoulli
Resposta: p1 = 191,8 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocidades
v1 = Q/A1 = 0,01/0,007854 = 1,273 m/s
v2 = Q/A2 = 0,01/0,004418 = 2,264 m/s
Bernoulli
p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 190 + ½·1000·(2,264² − 1,273²)/1000 = 190 + 1,751 = 191,8 kPa
Resposta
p1 = 191,8 kPa
4.Continuidade e Bernoulli
Resposta: p2 = 274,9 kPa
Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.
Continuidade e Bernoulli
Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,25·(100/75)² = 4 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,25² − 4²)/1000 = −5,469 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·2/1000 = 19,62 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 300 + (−5,469) − 19,62 = 274,9 kPa
Resposta
p2 = 274,9 kPa
5.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: hf = 54,4 m
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Velocidade média
A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
Carga cinética
V²/(2g) = 2,829²/(2·9,81) = 0,408 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(1000/0,15)·2,829²/(2·9,81) = 54,4 m
Resposta
hf = 54,4 m
6.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Q = 34,19 L/s
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Coeficientes de perda
f·L/D = 0,018·200/0,15 = 24
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7
Equação da energia
As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.
7 = (24 + 12,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·7/36,7) = 1,934 m/s
Vazão
Q = V·π·D²/4 = 1,934·0,01767 = 0,03419 m³/s = 34,19 L/s
Resposta
Q = 34,19 L/s
7.Bombas e potência de bombas
Resposta: η = 84,89 %
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·18 = 4,415 kW
Rendimento
η = Ph/Pshaft = 4,415/5,2 = 84,89%
Resposta
η = 84,89%
8.Bombas e potência de bombas
Resposta: H = 51,91 m
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Velocidade
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Perdas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 8)·0,408 = 11,42 m
Carga de pressão
p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m
Altura manométrica da bomba
As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 15 + 25,48 + 11,42 = 51,91 m
Resposta
H = 51,91 m
9.Escoamento em canais abertos (Manning)
Resposta: Q = 4,268 m³/s
Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (1 + 3·1)·1 = 4 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1·√(1 + 3²) = 7,325 m
R = A/P = 0,5461 m
Velocidade
V = (1/0,014)·0,54612/3·0,00051/2 = 1,067 m/s
Vazão
Q = A·V = 4·1,067 = 4,268 m³/s
Resposta
Q = 4,268 m³/s
10.Escoamento em canais abertos (Manning)
Resposta: S = 0,004094 m/m
Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (2 + 2·1,7)·1,7 = 9,18 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·1,7·√(1 + 2²) = 9,603 m
R = A/P = 0,956 m
Resolver Manning para S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,03·19/(9,18·0,9704) = 0,06398
S = 0,06398² = 0,004094
Resposta
S = 0,004094
Isso é um desnível de 4,094 m por quilômetro.
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