Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 0,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 3 mH = 2 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa por um medidor Venturi horizontal com diâmetro de entrada de 200 mm e diâmetro da garganta de 100 mm. A pressão na entrada é 41 kPa maior que na garganta. Desprezando as perdas, encontre a vazão Q.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ − p₂ = 41 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Uma mangueira com diâmetro interno de 40 mm sifona água de um tanque aberto. O ponto mais alto C da mangueira está 2 m acima da superfície da água, e a saída (aberta para o ar) está 1,5 m abaixo da superfície da água. Despreze as perdas e use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q.

d = 40 mmz_C = +2 mz₂ = −1,5 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa com velocidade média de 0,8 m/s em uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 50 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

V = 0,8 m/sL = 100 mD = 50 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,022) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 5). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5

H = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba fornece 10 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 26 m. O rendimento da bomba é 70% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 95%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica P_el consumida pelo motor, em kW.

Q = 10 L/sH = 26 mη_pump = 70%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 20 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 16 m mais alta. A tubulação tem 100 m de comprimento, diâmetro interno de 100 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,022; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 65%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 20 L/sΔz = 16 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,022ΣK = 6η = 65%

P_shaft = kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Uma galeria de águas pluviais de concreto com diâmetro interno de 600 mm escoa exatamente cheia (como canal aberto, não sob pressão). n de Manning = 0,013 e a declividade é S = 0,004. Encontre a vazão Q em m³/s.

D = 600 mmn = 0,013S = 0,004

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal trapezoidal de concreto acabado com largura de fundo de 5 m e taludes de 1,5:1 (horizontal:vertical) deve transportar 21 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1,1 m. n de Manning = 0,012. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 21 m³/sb = 5 my = 1,1 mz = 1,5n = 0,012

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 29,43 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1·3 = 29,43 kN

Resposta

F = 29,43 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 296,7 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·4·6 = 296,7 kN

Resposta

F = 296,7 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 73,45 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuidade

v₁ = v₂·(100/200)² = 0,25·v₂

Bernoulli entre a entrada e a garganta

O tubo é horizontal, então só a pressão e a velocidade mudam.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·41000/(1000·(1 − 0,0625))) = 9,352 m/s

v₁ = 2,338 m/s

Vazão

Q = A₂·v₂ = 0,007854·9,352 = 0,07345 m³/s = 73,45 L/s

Resposta

Q = 73,45 L/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 6,817 L/s

Velocidade na mangueira

A superfície e a saída estão as duas abertas para o ar, então os termos de pressão se cancelam.

v = √(2g·1,5) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s

Vazão

Q = A·v = 0,001257·5,425 = 0,006817 m³/s = 6,817 L/s

Resposta

Q = 6,817 L/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 1,827 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Carga cinética

V²/(2g) = 0,8²/(2·9,81) = 0,03262 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(100/0,05)·0,8²/(2·9,81) = 1,827 m

Resposta

h_f = 1,827 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 3,365 m

Velocidade

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,022·100/0,2 = 11

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 = 6,1

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 11 + 6,1)·0,1859 = 3,365 m

Resposta

H = 3,365 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_el = 3,835 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·26 = 2,551 kW

Potência no eixo

P_shaft = 2,551/0,7 = 3,644 kW

Potência elétrica

P_el = 3,644/0,95 = 3,835 kW

Resposta

P_el = 3,835 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 7,623 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 6)·0,3305 = 9,254 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 16 + 9,254 = 25,25 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,02·25,25/0,65 = 7,623 kW

Resposta

P_shaft = 7,623 kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 0,3883 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = 0,2827 m², R = D/4 = 0,15 m

Velocidade

V = (1/0,013)·0,15^2/3·0,004^1/2 = 1,373 m/s

Vazão

Q = A·V = 0,2827·1,373 = 0,3883 m³/s

Resposta

Q = 0,3883 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,001557 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (5 + 1,5·1,1)·1,1 = 7,315 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1,1·√(1 + 1,5²) = 8,966 m

R = A/P = 0,8159 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·21/(7,315·0,8731) = 0,03946

S = 0,03946² = 0,001557

Resposta

S = 0,001557

Isso é um desnível de 1,557 m por quilômetro.

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