Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 1,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 100 mm para 40 mm. No trecho largo a pressão é 240 kPa e a velocidade é 2 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ no trecho estreito.

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 240 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

A água sobe por um tubo que se estreita de 100 mm para 75 mm enquanto sobe 5 m. Na seção 1 a pressão é 270 kPa e a velocidade é 1,25 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ na seção 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 270 kPav₁ = 1,25 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa com velocidade média de 2,6 m/s em uma tubulação de 50 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

V = 2,6 m/sL = 50 mD = 250 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015. A superfície da água do reservatório superior está 9 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 10) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.

Δz = 9 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba com rendimento de 70% fornece 60 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 80 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo P_shaft necessária, em kW.

Q = 60 L/sH = 80 mη = 70%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 80 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 22 m mais alta. A tubulação tem 150 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 82%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 80 L/sΔz = 22 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8η = 82%

P_shaft = kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de concreto acabado tem largura de fundo de 2,5 m e taludes de 1:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 1,8 m de profundidade. n de Manning = 0,012 e a declividade do fundo é S = 0,004. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 2,5 my = 1,8 mz = 1n = 0,012S = 0,004

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal trapezoidal de terra limpa com largura de fundo de 2 m e taludes de 1:1 (horizontal:vertical) deve transportar 3,1 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1 m. n de Manning = 0,022. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 3,1 m³/sb = 2 my = 1 mz = 1n = 0,022

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 132,4 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·4,5 = 132,4 kN

Resposta

F = 132,4 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 148,3 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·4·3 = 148,3 kN

Resposta

F = 148,3 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 163,9 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(100/40)² = 12,5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 12,5²)/1000 = −76,13 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 240 + (−76,13) = 163,9 kPa

Resposta

p₂ = 163,9 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 219,3 kPa

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,25·(100/75)² = 2,222 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,25² − 2,222²)/1000 = −1,688 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·5/1000 = 49,05 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 270 + (−1,688) − 49,05 = 219,3 kPa

Resposta

p₂ = 219,3 kPa

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 2,067 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Carga cinética

V²/(2g) = 2,6²/(2·9,81) = 0,3445 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(50/0,25)·2,6²/(2·9,81) = 2,067 m

Resposta

h_f = 2,067 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Q = 132,1 L/s

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,015·200/0,25 = 12

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Equação da energia

As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.

9 = (12 + 12,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·9/24,4) = 2,69 m/s

Vazão

Q = V·π·D²/4 = 2,69·0,04909 = 0,1321 m³/s = 132,1 L/s

Resposta

Q = 132,1 L/s

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 67,27 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·80 = 47,09 kW

Potência no eixo

P_shaft = P_h/η = 47,09/0,7 = 67,27 kW

Resposta

P_shaft = 67,27 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 27,14 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11,25 + 8)·0,3305 = 6,362 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 22 + 6,362 = 28,36 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·28,36/0,82 = 27,14 kW

Resposta

P_shaft = 27,14 kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 41,32 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1·1,8)·1,8 = 7,74 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,8·√(1 + 1²) = 7,591 m

R = A/P = 1,02 m

Velocidade

V = (1/0,012)·1,02^2/3·0,004^1/2 = 5,339 m/s

Vazão

Q = A·V = 7,74·5,339 = 41,32 m³/s

Resposta

Q = 41,32 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,0009748 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (2 + 1·1)·1 = 3 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·1·√(1 + 1²) = 4,828 m

R = A/P = 0,6213 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·3,1/(3·0,7281) = 0,03122

S = 0,03122² = 0,0009748

Resposta

S = 0,0009748

Isso é um desnível de 0,9748 m por quilômetro.

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