Força hidrostática
- Pressão em uma profundidade
- p = ρgh
- Força em uma parede vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de pressão
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Retângulo
- Ic = bH³/12
Hidráulica: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Continuidade e Bernoulli
- Continuidade
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Vazão
- Q = A·v
- Área do círculo
- A = πd²/4
Atrito em tubulações e perda de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime de escoamento
- laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
- Velocidade média
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
- Queda de pressão
- Δp = ρ·g·hf
- Dois reservatórios abertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Saída livre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas e potência de bombas
- Potência hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potência no eixo
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potência elétrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura manométrica da bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdas do sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Escoamento em canais abertos (Manning)
- Equação de Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Vazão
- Q = A·V
- Raio hidráulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Retângulo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapézio (talude z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circular, cheio ou meio cheio
- R = D/4
- Declividade necessária
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Exercícios
1.Força hidrostáticaMédia
Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 4 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de óleo, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 1,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidade e BernoulliMédia
Água escoa por um medidor Venturi horizontal com diâmetro de entrada de 100 mm e diâmetro da garganta de 60 mm. A pressão na entrada é 25 kPa maior que na garganta. Desprezando as perdas, encontre a vazão Q.
d1 = 100 mmd2 = 60 mmp1 − p2 = 25 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuidade e BernoulliDifícil
A água sobe por um tubo que se estreita de 150 mm para 100 mm enquanto sobe 4 m. Na seção 1 a pressão é 150 kPa e a velocidade é 3 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 na seção 2.
d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 150 kPav1 = 3 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
Água escoa a 3 L/s em uma tubulação de 50 m de comprimento com diâmetro interno de 50 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito hf.
Q = 3 L/sL = 50 mD = 50 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 500 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018. A superfície da água do reservatório superior está 39 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 5) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.
Δz = 39 mL = 500 mD = 300 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas e potência de bombasMédia
Em um ensaio, uma bomba fornece 30 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 24 m enquanto seu eixo absorve 8,8 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.
Q = 30 L/sH = 24 mPshaft = 8,8 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Bombas e potência de bombasDifícil
Uma bomba transporta 15 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 13 m mais alta. A tubulação tem 200 m de comprimento, diâmetro interno de 100 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 72%. Encontre a potência no eixo Pshaft em kW.
Q = 15 L/sΔz = 13 mL = 200 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 8η = 72%
Pshaft = kW
9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média
Um canal trapezoidal de terra revestida de grama tem largura de fundo de 4,5 m e taludes de 2:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 1,2 m de profundidade. n de Manning = 0,03 e a declividade do fundo é S = 0,0008. Encontre a vazão Q em m³/s.
b = 4,5 my = 1,2 mz = 2n = 0,03S = 0,0008
Q = m³/s
10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil
Um canal retangular de concreto acabado com 2,5 m de largura deve transportar 2,3 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 0,8 m. n de Manning = 0,012. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).
Q = 2,3 m³/sb = 2,5 my = 0,8 mn = 0,012
S = m/m
3Soluções
1.Força hidrostática
Resposta: F = 242,8 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5,5·4,5 = 242,8 kN
Resposta
F = 242,8 kN
2.Força hidrostática
Resposta: F = 58,27 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m
A = H·b = 1,5·2 = 3 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·2,25·3 = 58,27 kN
Resposta
F = 58,27 kN
3.Continuidade e Bernoulli
Resposta: Q = 21,43 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuidade
v1 = v2·(60/100)² = 0,36·v2
Bernoulli entre a entrada e a garganta
O tubo é horizontal, então só a pressão e a velocidade mudam.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·25000/(1000·(1 − 0,1296))) = 7,579 m/s
v1 = 2,729 m/s
Vazão
Q = A2·v2 = 0,002827·7,579 = 0,02143 m³/s = 21,43 L/s
Resposta
Q = 21,43 L/s
4.Continuidade e Bernoulli
Resposta: p2 = 92,48 kPa
Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.
Continuidade e Bernoulli
Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 3·(150/100)² = 6,75 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(3² − 6,75²)/1000 = −18,28 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 150 + (−18,28) − 39,24 = 92,48 kPa
Resposta
p2 = 92,48 kPa
5.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: hf = 1,785 m
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Velocidade média
A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²
V = Q/A = 0,003/0,001963 = 1,528 m/s
Carga cinética
V²/(2g) = 1,528²/(2·9,81) = 0,119 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(50/0,05)·1,528²/(2·9,81) = 1,785 m
Resposta
hf = 1,785 m
6.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Q = 319,7 L/s
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Coeficientes de perda
f·L/D = 0,018·500/0,3 = 30
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4
Equação da energia
As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.
39 = (30 + 7,4)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·39/37,4) = 4,523 m/s
Vazão
Q = V·π·D²/4 = 4,523·0,07069 = 0,3197 m³/s = 319,7 L/s
Resposta
Q = 319,7 L/s
7.Bombas e potência de bombas
Resposta: η = 80,26 %
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·24 = 7,063 kW
Rendimento
η = Ph/Pshaft = 7,063/8,8 = 80,26%
Resposta
η = 80,26%
8.Bombas e potência de bombas
Resposta: Pshaft = 4,101 kW
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Velocidade
V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m
Perdas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0,1859 = 7,065 m
Altura manométrica da bomba
H = Δz + hL = 13 + 7,065 = 20,06 m
Potência no eixo
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,015·20,06/0,72 = 4,101 kW
Resposta
Pshaft = 4,101 kW
9.Escoamento em canais abertos (Manning)
Resposta: Q = 6,945 m³/s
Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (4,5 + 2·1,2)·1,2 = 8,28 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·1,2·√(1 + 2²) = 9,867 m
R = A/P = 0,8392 m
Velocidade
V = (1/0,03)·0,83922/3·0,00081/2 = 0,8388 m/s
Vazão
Q = A·V = 8,28·0,8388 = 6,945 m³/s
Resposta
Q = 6,945 m³/s
10.Escoamento em canais abertos (Manning)
Resposta: S = 0,0004959 m/m
Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.
Geometria
A = b·y = 2,5·0,8 = 2 m²
P = b + 2y = 2,5 + 2·0,8 = 4,1 m
R = A/P = 0,4878 m
Resolver Manning para S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,012·2,3/(2·0,6197) = 0,02227
S = 0,02227² = 0,0004959
Resposta
S = 0,0004959
Isso é um desnível de 0,4959 m por quilômetro.
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