Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 1 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

Um tubo de Pitot estático em um túnel de vento indica uma diferença de 50 Pa entre a pressão de estagnação e a pressão estática. A massa específica do ar é 1,2 kg/m³. Encontre a velocidade do ar v.

p₀ − p = 50 Paρ = 1,2 kg/m³

v = m/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

A água sobe por um tubo que se estreita de 100 mm para 50 mm enquanto sobe 6 m. Na seção 1 a pressão é 180 kPa e a velocidade é 0,75 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ na seção 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 180 kPav₁ = 0,75 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa com velocidade média de 1,7 m/s em uma tubulação de 50 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

V = 1,7 m/sL = 50 mD = 300 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 100 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02. A superfície da água do reservatório superior está 24 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 5) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.

Δz = 24 mL = 150 mD = 100 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba fornece 10 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 50 m. O rendimento da bomba é 72% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 92%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica P_el consumida pelo motor, em kW.

Q = 10 L/sH = 50 mη_pump = 72%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 50 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 10 m mais alta. A tubulação tem 300 m de comprimento, diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 5 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 50 L/sΔz = 10 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 5

H = m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de concreto sem acabamento tem largura de fundo de 1,5 m e taludes de 1,5:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 2,1 m de profundidade. n de Manning = 0,014 e a declividade do fundo é S = 0,0005. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 1,5 my = 2,1 mz = 1,5n = 0,014S = 0,0005

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal trapezoidal de concreto acabado com largura de fundo de 4,5 m e taludes de 2:1 (horizontal:vertical) deve transportar 12 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 0,6 m. n de Manning = 0,012. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 12 m³/sb = 4,5 my = 0,6 mz = 2n = 0,012

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 58,86 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·2 = 58,86 kN

Resposta

F = 58,86 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 2,8 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·4,5 = 110,4 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 1,5·3³/12 = 3,375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 3,375/(2,5·4,5) = 2,8 m

Resposta

y_cp = 2,8 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: v = 9,129 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli até o ponto de estagnação

O escoamento para na ponta, então sua energia cinética aparece como pressão adicional.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·50/1,2) = 9,129 m/s

Resposta

v = 9,129 m/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 116,9 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(100/50)² = 3 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 3²)/1000 = −4,219 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·6/1000 = 58,86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 180 + (−4,219) − 58,86 = 116,9 kPa

Resposta

p₂ = 116,9 kPa

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 0,4419 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Carga cinética

V²/(2g) = 1,7²/(2·9,81) = 0,1473 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(50/0,3)·1,7²/(2·9,81) = 0,4419 m

Resposta

h_f = 0,4419 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Q = 27,98 L/s

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,02·150/0,1 = 30

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Equação da energia

As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.

24 = (30 + 7,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·24/37,1) = 3,563 m/s

Vazão

Q = V·π·D²/4 = 3,563·0,007854 = 0,02798 m³/s = 27,98 L/s

Resposta

Q = 27,98 L/s

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_el = 7,405 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·50 = 4,905 kW

Potência no eixo

P_shaft = 4,905/0,72 = 6,813 kW

Potência elétrica

P_el = 6,813/0,92 = 7,405 kW

Resposta

P_el = 7,405 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 26,73 m

Velocidade

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 5)·0,408 = 16,73 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.

H = Δz + h_L = 10 + 16,73 = 26,73 m

Resposta

H = 26,73 m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 16,38 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 1,5·2,1)·2,1 = 9,765 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·2,1·√(1 + 1,5²) = 9,072 m

R = A/P = 1,076 m

Velocidade

V = (1/0,014)·1,076^2/3·0,0005^1/2 = 1,678 m/s

Vazão

Q = A·V = 9,765·1,678 = 16,38 m³/s

Resposta

Q = 16,38 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,004769 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 2·0,6)·0,6 = 3,42 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·0,6·√(1 + 2²) = 7,183 m

R = A/P = 0,4761 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·12/(3,42·0,6097) = 0,06906

S = 0,06906² = 0,004769

Resposta

S = 0,004769

Isso é um desnível de 4,769 m por quilômetro.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering