Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 0,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de óleo, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 4 mH = 3 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 75 mm para 40 mm. No trecho largo a pressão é 340 kPa e a velocidade é 2 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ no trecho estreito.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 340 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

A água sobe por um tubo que se estreita de 150 mm para 50 mm enquanto sobe 7 m. Na seção 1 a pressão é 310 kPa e a velocidade é 0,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ na seção 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 50 mmp₁ = 310 kPav₁ = 0,5 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 1,3 m/s em uma tubulação horizontal de 800 m de comprimento e diâmetro interno de 300 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.

V = 1,3 m/sL = 800 mD = 300 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 500 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 10) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 200 L/s?

Q = 200 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba com rendimento de 80% fornece 40 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 14 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo P_shaft necessária, em kW.

Q = 40 L/sH = 14 mη = 80%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 75 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 5 m mais alta. A tubulação tem 150 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 3 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 300 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 75 L/sΔz = 5 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 3p_tank = 300 kPa

H = m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de concreto acabado tem largura de fundo de 1 m e taludes de 1,5:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 1 m de profundidade. n de Manning = 0,012 e a declividade do fundo é S = 0,003. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 1 my = 1 mz = 1,5n = 0,012S = 0,003

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal trapezoidal de concreto acabado com largura de fundo de 5,5 m e taludes de 3:1 (horizontal:vertical) deve transportar 40 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1,6 m. n de Manning = 0,012. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 40 m³/sb = 5,5 my = 1,6 mz = 3n = 0,012

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 29,43 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1·3 = 29,43 kN

Resposta

F = 29,43 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 5,636 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·5,5·3 = 142,4 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5,5 + 2,25/(5,5·3) = 5,636 m

Resposta

y_cp = 5,636 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 317,3 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(75/40)² = 7,031 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 7,031²)/1000 = −22,72 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 340 + (−22,72) = 317,3 kPa

Resposta

p₂ = 317,3 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 231,3 kPa

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(150/50)² = 4,5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 4,5²)/1000 = −10 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 310 + (−10) − 68,67 = 231,3 kPa

Resposta

p₂ = 231,3 kPa

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δp = 45,07 kPa

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Perda de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(800/0,3)·1,3²/(2·9,81) = 4,594 m

Queda de pressão

A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·4,594 = 45067 Pa = 45,07 kPa

Resposta

Δp = 45,07 kPa

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 15,14 m

Velocidade

V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,015·500/0,3 = 25

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Perda de carga total

h_f = 25·0,408 = 10,2 m

h_m = 12,1·0,408 = 4,937 m

Δz = h_f + h_m = 15,14 m

Resposta

Δz = 15,14 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 6,867 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·14 = 5,494 kW

Potência no eixo

P_shaft = P_h/η = 5,494/0,8 = 6,867 kW

Resposta

P_shaft = 6,867 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 37,01 m

Velocidade

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 3)·0,119 = 1,428 m

Carga de pressão

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 5 + 30,58 + 1,428 = 37,01 m

Resposta

H = 37,01 m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 7,593 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1 + 1,5·1)·1 = 2,5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1·√(1 + 1,5²) = 4,606 m

R = A/P = 0,5428 m

Velocidade

V = (1/0,012)·0,5428^2/3·0,003^1/2 = 3,037 m/s

Vazão

Q = A·V = 2,5·3,037 = 7,593 m³/s

Resposta

Q = 7,593 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,0007898 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 3·1,6)·1,6 = 16,48 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·1,6·√(1 + 3²) = 15,62 m

R = A/P = 1,055 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·40/(16,48·1,036) = 0,0281

S = 0,0281² = 0,0007898

Resposta

S = 0,0007898

Isso é um desnível de 0,7898 m por quilômetro.

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