Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 0,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 1 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa de um grande tanque aberto por um orifício de borda viva com diâmetro de 50 mm. O nível da água é mantido 5 m acima do orifício e o coeficiente de descarga é 0,6. Encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².

d = 50 mmh = 5 mC_d = 0,6g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

O bocal de uma fonte aponta para cima na vertical. Logo abaixo do bocal o tubo de alimentação tem diâmetro de 100 mm e pressão manométrica de 120 kPa. O diâmetro de saída do bocal é 30 mm, e a diferença de altura ao longo do bocal é desprezível. Desprezando as perdas e a resistência do ar, encontre a altura H que o jato sobe acima do bocal. Use g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmp₁ = 120 kPa (manométrica)d₂ = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 200 L/s em uma tubulação de 50 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 200 L/sL = 50 mD = 300 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,015) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 5). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 40 L/s?

Q = 40 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5

H = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba com rendimento de 65% fornece 10 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 60 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo P_shaft necessária, em kW.

Q = 10 L/sH = 60 mη = 65%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 40 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 10 m mais alta. A tubulação tem 300 m de comprimento, diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 40 L/sΔz = 10 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 8

H = m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de cascalho tem largura de fundo de 1 m e taludes de 1:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 1,5 m de profundidade. n de Manning = 0,025 e a declividade do fundo é S = 0,0015. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 1 my = 1,5 mz = 1n = 0,025S = 0,0015

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal trapezoidal de alvenaria de tijolos com largura de fundo de 2,5 m e taludes de 1:1 (horizontal:vertical) deve transportar 3,6 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 0,7 m. n de Manning = 0,015. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 3,6 m³/sb = 2,5 my = 0,7 mz = 1n = 0,015

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 9,81 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1·1 = 9,81 kN

Resposta

F = 9,81 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 2,481 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·7,5 = 165,5 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 3·2,5³/12 = 3,906 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,25 + 3,906/(2,25·7,5) = 2,481 m

Resposta

y_cp = 2,481 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 11,67 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidade ideal do jato

√(2gh) = √(2·9,81·5) = 9,905 m/s

Vazão real

O coeficiente de descarga leva em conta a contração do jato e o atrito na borda.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,6·0,001963·9,905 = 0,01167 m³/s = 11,67 L/s

Resposta

Q = 11,67 L/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: H = 12,33 m

Velocidade de saída

β = 30/100 = 0,3

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·120000/(1000·0,9919)) = 15,56 m/s

Altura do jato

Bernoulli ao longo do jato: no topo a velocidade é zero e a pressão volta a ser a atmosférica.

H = v₂²/(2g) = 15,56²/(2·9,81) = 12,33 m

Resposta

H = 12,33 m

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 1,904 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 2,829²/(2·9,81) = 0,408 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(50/0,3)·2,829²/(2·9,81) = 1,904 m

Resposta

h_f = 1,904 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 7,155 m

Velocidade

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,015·200/0,15 = 20

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 = 6,4

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 20 + 6,4)·0,2611 = 7,155 m

Resposta

H = 7,155 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 9,055 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·60 = 5,886 kW

Potência no eixo

P_shaft = P_h/η = 5,886/0,65 = 9,055 kW

Resposta

P_shaft = 9,055 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 25,15 m

Velocidade

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 8)·0,2611 = 15,15 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.

H = Δz + h_L = 10 + 15,15 = 25,15 m

Resposta

H = 25,15 m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 4,646 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1 + 1·1,5)·1,5 = 3,75 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1,5·√(1 + 1²) = 5,243 m

R = A/P = 0,7153 m

Velocidade

V = (1/0,025)·0,7153^2/3·0,0015^1/2 = 1,239 m/s

Vazão

Q = A·V = 3,75·1,239 = 4,646 m³/s

Resposta

Q = 4,646 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,001464 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1·0,7)·0,7 = 2,24 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·0,7·√(1 + 1²) = 4,48 m

R = A/P = 0,5 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·3,6/(2,24·0,63) = 0,03827

S = 0,03827² = 0,001464

Resposta

S = 0,001464

Isso é um desnível de 1,464 m por quilômetro.

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