Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 1,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

Um tubo de Pitot estático em uma tubulação de água indica uma diferença de 20 kPa entre a pressão de estagnação e a pressão estática. Encontre a velocidade da água v na ponta.

p₀ − p = 20 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Um tanque de água fechado tem ar comprimido acima da água a uma pressão manométrica de 170 kPa. A água sai por uma abertura com diâmetro de 20 mm, 1 m abaixo da superfície da água, para o ar livre. Desprezando as perdas, encontre a velocidade do jato v. Use g = 9,81 m/s².

p_air = 170 kPa (manométrica)h = 1 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 6 L/s em uma tubulação de 400 m de comprimento com diâmetro interno de 50 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 6 L/sL = 400 mD = 50 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Uma tubulação de 300 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,025) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 10). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 200 L/s?

Q = 200 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10

H = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba fornece 40 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 16 m. O rendimento da bomba é 85% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 88%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica P_el consumida pelo motor, em kW.

Q = 40 L/sH = 16 mη_pump = 85%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 100 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 7 m mais alta. A tubulação tem 400 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 200 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 100 L/sΔz = 7 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 8p_tank = 200 kPa

H = m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de alvenaria de tijolos tem largura de fundo de 4,5 m e taludes de 3:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 0,9 m de profundidade. n de Manning = 0,015 e a declividade do fundo é S = 0,001. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 4,5 my = 0,9 mz = 3n = 0,015S = 0,001

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal retangular de cascalho com 6 m de largura deve transportar 21 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1,4 m. n de Manning = 0,025. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 21 m³/sb = 6 my = 1,4 mn = 0,025

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 183,9 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·5 = 183,9 kN

Resposta

F = 183,9 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 185,4 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,5·6 = 185,4 kN

Resposta

F = 185,4 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: v = 6,325 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli até o ponto de estagnação

O escoamento para na ponta, então sua energia cinética aparece como pressão adicional.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·20000/1000) = 6,325 m/s

Resposta

v = 6,325 m/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: v = 18,96 m/s

Bernoulli da superfície até o jato

v = √(2·(170000/1000 + 9,81·1)) = 18,96 m/s

Resposta

v = 18,96 m/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 83,76 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²

V = Q/A = 0,006/0,001963 = 3,056 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 3,056²/(2·9,81) = 0,4759 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(400/0,05)·3,056²/(2·9,81) = 83,76 m

Resposta

h_f = 83,76 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 15,38 m

Velocidade

V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,025·300/0,3 = 25

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 = 11,7

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 25 + 11,7)·0,408 = 15,38 m

Resposta

H = 15,38 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_el = 8,394 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·16 = 6,278 kW

Potência no eixo

P_shaft = 6,278/0,85 = 7,386 kW

Potência elétrica

P_el = 7,386/0,88 = 8,394 kW

Resposta

P_el = 8,394 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 34,16 m

Velocidade

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 8)·0,2115 = 6,769 m

Carga de pressão

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 7 + 20,39 + 6,769 = 34,16 m

Resposta

H = 34,16 m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 10,1 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 3·0,9)·0,9 = 6,48 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·0,9·√(1 + 3²) = 10,19 m

R = A/P = 0,6358 m

Velocidade

V = (1/0,015)·0,6358^2/3·0,001^1/2 = 1,559 m/s

Vazão

Q = A·V = 6,48·1,559 = 10,1 m³/s

Resposta

Q = 10,1 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,004156 m/m

Geometria

A = b·y = 6·1,4 = 8,4 m²

P = b + 2y = 6 + 2·1,4 = 8,8 m

R = A/P = 0,9545 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·21/(8,4·0,9695) = 0,06447

S = 0,06447² = 0,004156

Resposta

S = 0,004156

Isso é um desnível de 4,156 m por quilômetro.

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