Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 1,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa a 9 L/s por um tubo horizontal que se estreita de 80 mm para 40 mm. A pressão no trecho estreito é 50 kPa. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₁ no trecho largo.

Q = 9 L/sd₁ = 80 mmd₂ = 40 mmp₂ = 50 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Uma mangueira com diâmetro interno de 50 mm sifona água de um tanque aberto. O ponto mais alto C da mangueira está 2 m acima da superfície da água, e a saída (aberta para o ar) está 2 m abaixo da superfície da água. Despreze as perdas e use g = 9,81 m/s². Encontre a pressão absoluta p_C no ponto C. A pressão atmosférica é 101,3 kPa.

d = 50 mmz_C = +2 mz₂ = −2 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 4 L/s em uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 50 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 4 L/sL = 100 mD = 50 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 120 L/s?

Q = 120 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Em um ensaio, uma bomba fornece 10 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 36 m enquanto seu eixo absorve 4,5 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 10 L/sH = 36 mP_shaft = 4,5 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 60 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 5 m mais alta. A tubulação tem 150 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 5 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 60 L/sΔz = 5 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 5

H = m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Uma galeria de águas pluviais de concreto com diâmetro interno de 1200 mm escoa a meia seção. n de Manning = 0,013 e a declividade é S = 0,0015. Encontre a vazão Q em m³/s.

D = 1200 mmn = 0,013S = 0,0015

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal trapezoidal de alvenaria de tijolos com largura de fundo de 3 m e taludes de 1:1 (horizontal:vertical) deve transportar 19 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1,8 m. n de Manning = 0,015. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 19 m³/sb = 3 my = 1,8 mz = 1n = 0,015

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 24,52 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·1 = 24,52 kN

Resposta

F = 24,52 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 2,042 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2·2 = 49,44 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0,1667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 0,1667/(2·2) = 2,042 m

Resposta

y_cp = 2,042 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₁ = 74,04 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidades

v₁ = Q/A₁ = 0,009/0,005027 = 1,79 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,009/0,001257 = 7,162 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 50 + ½·1000·(7,162² − 1,79²)/1000 = 50 + 24,04 = 74,04 kPa

Resposta

p₁ = 74,04 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p_C = 62,06 kPa

Velocidade na mangueira

A superfície e a saída estão as duas abertas para o ar, então os termos de pressão se cancelam.

v = √(2g·2) = √(2·9,81·2) = 6,264 m/s

Bernoulli da superfície até C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(6,264²/2 + 9,81·2)/1000 = 101,3 − 39,24 = 62,06 kPa

Resposta

p_C = 62,06 kPa

Se essa pressão cair até a pressão de vapor da água, o sifão para de funcionar.

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 12,69 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²

V = Q/A = 0,004/0,001963 = 2,037 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 2,037²/(2·9,81) = 0,2115 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(100/0,05)·2,037²/(2·9,81) = 12,69 m

Resposta

h_f = 12,69 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 2,115 m

Velocidade

V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,02·150/0,3 = 10

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Perda de carga total

h_f = 10·0,1469 = 1,469 m

h_m = 4,4·0,1469 = 0,6463 m

Δz = h_f + h_m = 2,115 m

Resposta

Δz = 2,115 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 78,48 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·36 = 3,532 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 3,532/4,5 = 78,48%

Resposta

η = 78,48%

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 6,066 m

Velocidade

V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s

V²/(2g) = 0,07615 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 5)·0,07615 = 1,066 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.

H = Δz + h_L = 5 + 1,066 = 6,066 m

Resposta

H = 6,066 m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 0,755 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = 0,5655 m², R = D/4 = 0,3 m

Velocidade

V = (1/0,013)·0,3^2/3·0,0015^1/2 = 1,335 m/s

Vazão

Q = A·V = 0,5655·1,335 = 0,755 m³/s

Resposta

Q = 0,755 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,0009969 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (3 + 1·1,8)·1,8 = 8,64 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1,8·√(1 + 1²) = 8,091 m

R = A/P = 1,068 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·19/(8,64·1,045) = 0,03157

S = 0,03157² = 0,0009969

Resposta

S = 0,0009969

Isso é um desnível de 0,9969 m por quilômetro.

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