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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Investe €5 000 a uma taxa nominal de 4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 5 anos.
PV = €5 0004% / 12n = 5
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €12 000 é pago em prestações mensais iguais durante 5 anos. A taxa de juro é de 3,6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €12 0003,6% / 12N = 60
A = €
3.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% e vence em 9 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 2,5% para 1%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 7%n = 9y1 = 2,5%y2 = 1%
ΔP = €
4.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título é negociado a €970 com rendimento até o vencimento de 4% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 10,8 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento subir 150 pontos-base.
P0 = €970y = 4%D = 10,8Δy = +150 bp
P = €
5.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €8 000 000 e dívida de €4 000 000. Seu custo do capital próprio é 14%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 21%. Calcule o WACC.
O negócio de uma empresa tem beta desalavancado (dos ativos) de 0,7. Ela planeja uma relação dívida/capital próprio de 1,5. A alíquota de imposto é 25%, a taxa livre de risco é 4% e o prêmio de risco de mercado é 5%. Encontre o custo do capital próprio re na nova estrutura de capital.
βU = 0,7D/E = 1,5T = 25%rf = 4%rm − rf = 5%
re = %
7.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €100 000 hoje. Ele gera €6 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 1% ao ano para sempre. O custo de capital é 8%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €100 000CF1 = €6 000g = 1%r = 8%
NPV = €
8.VAL e TIRDifícil
O projeto A custa €40 000 e retorna €23 000, €15 500, €9 500 no final dos anos 1 a 3. O projeto B custa €45 000 e retorna €11 500, €18 000, €27 000. Encontre a taxa de Fisher (ponto de interseção) r* na qual os dois projetos têm o mesmo VPL, em porcentagem.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·5 = 60
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,8355
A = 12 000·0,003/(1 − 0,8355) = €218,84
Resposta
A = €218,84
3.Preço e rendimento de títulos
Resposta: ΔP = 155,3 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificada
Dmod = 10,8/1,04 = 10,38
Variação estimada do preço
%ΔP ≈ −10,38·(0,015) = −15,58%
P ≈ 970·(1 − 0,1558) = €818,90
Resposta
P = €818,90
A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.
5.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 10,39 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €12 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·14% + 0,3333·4%·(1 − 0,21) = 10,39%
Resposta
WACC = 10,39%
6.CAPM e WACC
Resposta: re = 11,44 %
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Beta alavancado
βL = 0,7·(1 + 0,75·1,5) = 1,487
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 4% + 1,487·5% = 11,44%
Resposta
re = 11,44%
7.VAL e TIR
Resposta: NPV = −14286 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor dos fluxos de caixa
PV = 6 000/(0,08 − 0,01) = 85 714,29
NPV
NPV = 85 714,29 − 100 000 = −€14 285,71
Resposta
NPV = −€14 285,71
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
8.VAL e TIR
Resposta: r* = 9,214 %
Taxa de interseção (taxa de Fisher): a taxa de desconto na qual dois projetos têm o mesmo VPL. Ela é a TIR da diferença entre seus fluxos de caixa (B − A). Abaixo dela, o projeto com fluxos de caixa maiores e mais tardios tem o VPL mais alto; acima dela, o outro vence.
Diferença dos fluxos de caixa
ΔCF0 = −45 000 − (−40 000) = −5 000
ΔCF1 = 11 500 − 23 000 = −11 500
ΔCF2 = 18 000 − 15 500 = 2 500
ΔCF3 = 27 000 − 9 500 = 17 500
TIR da diferença
NPVΔ(9%) = 66,95
NPVΔ(10%) = −240,42
r* = 9,214%
Resposta
r* = 9,214%
Verificação: a 9,214% os dois VPLs valem €1 347,02.