Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Você investe €5 000 a 2% ao ano com capitalização contínua. Encontre o valor FV após 18 anos.

PV = €5 000r = 2%t = 18

FV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Um empréstimo de €15 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 4 anos a 7,2% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto de juros I é pago no total durante a vida do empréstimo?

P = €15 0007,2% / 12N = 48

I = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Você compra um título com 8 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 4%) quando seu rendimento até o vencimento é 3,5%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 5%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.

F = €1 000cupom = 4%n = 8y₀ = 3,5%y₁ = 5%

HPR = %

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título é negociado a €1 050 com rendimento até o vencimento de 3% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 6,4 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento subir 100 pontos-base.

P₀ = €1 050y = 3%D = 6,4Δy = +100 bp

P = €

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €5 000 000 e dívida de €3 000 000. Seu custo do capital próprio é 14%, seu custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 28%. Calcule o WACC.

E = €5 000 000D = €3 000 000r_e = 14%r_d = 7%T = 28%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €12 000 000 e custo do capital próprio de 14%. Sua dívida consiste em 8 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 4%, 10 anos até o vencimento) negociados a €1 085 cada. A alíquota de imposto é 30%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.

E = €12 000 000r_e = 14%títulos: 8 000 × €1 085cupom = 4%n = 10T = 30%

WACC = %

7.VAL e TIRMédia

Uma máquina custa €60 000 hoje. Ela gera €15 000 no final de cada ano durante 4 anos e depois pode ser vendida por €9 000. O custo de capital é 6%. Encontre o valor presente líquido NPV.

C₀ = €60 000CF = €15 000S = €9 000n = 4r = 6%

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €20 000 e devolve €8 500, €15 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −20 000CF₁ = 8 500CF₂ = 15 000

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 7167 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Expoente

r·t = 0,02·18 = 0,36

e^0,36 = 1,433

Valor futuro

FV = 5 000·1,433 = €7 166,65

Resposta

FV = €7 166,65

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: I = 2308 €

Prestação mensal

i = 0,006, N = 48

A = 15 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)⁻⁴⁸) = €360,59

Juros totais

I = N·A − P = 48·360,6 − 15 000 = €2 308,18

Resposta

I = €2 308,18

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: HPR = −5,05 %

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Preço de compra

C = €40,00, i = 0,035, N = 8

€40,00·(1 − 0,7594)/0,035 + €1 000·0,7594 = €274,96 + €759,41 = €1 034,37

Preço de venda

C = €40,00, i = 0,05, N = 7

€40,00·(1 − 0,7107)/0,05 + €1 000·0,7107 = €231,45 + €710,68 = €942,14

Retorno no período de posse

HPR = (40 + 942,14 − 1 034,37)/1 034,37 = −5,05%

Resposta

HPR = −5,05%

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 984,8 €

Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Duration modificada

D_mod = 6,4/1,03 = 6,214

Variação estimada do preço

%ΔP ≈ −6,214·(0,01) = −6,214%

P ≈ 1050·(1 − 0,06214) = €984,76

Resposta

P = €984,76

A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 10,64 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·14% + 0,375·7%·(1 − 0,28) = 10,64%

Resposta

WACC = 10,64%

6.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 9,006 %

Custo da dívida (YTM)

1085 = 40·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + 1000/(1 + y)¹⁰

y = 3,003%

Valores de mercado

D = 8 000·€1 085 = €8 680 000

V = €20 680 000, E/V = 0,5803, D/V = 0,4197

WACC

WACC = 0,5803·14% + 0,4197·3,003%·(1 − 0,3) = 9,006%

Resposta

WACC = 9,006%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = −894,6 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor presente dos fluxos de caixa anuais

15 000·3,465 = 51 976,58

Valor presente do valor residual

9 000/1,262 = 7 128,84

NPV

NPV = −60 000 + 51 976,58 + 7 128,84 = −€894,57

Resposta

NPV = −€894,57

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 10,42 %

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(10%) = 123,97

NPV(15%) = −1 266,54

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 10 + 5·123,97/(123,97 − (−1 266,54)) = 10,45%

exato: NPV(10,42%) = 0 → IRR = 10,42%

Resposta

IRR = 10,42%

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