Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Precisa de €40 000 daqui a 5 anos. Uma conta rende 6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.

FV = €40 0006% / 12n = 5

PV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Poupa €50 no fim de cada mês durante 20 anos. A conta rende 3,6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.

A = €503,6% / 12N = 240

FV = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 vence em 7 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €1 174 quando o rendimento até o vencimento é 5%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.

F = €1 000n = 7P = €1 174YTM = 5%

c = %

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4% e vence em 5 anos. O rendimento até o vencimento é 8%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.

F = €1 000cupom = 4%n = 5YTM = 8%

D = anos

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 0,75. Seu custo do capital próprio é 12%, seu custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 25,8%. Encontre o WACC.

D/E = 0,75r_e = 12%r_d = 5%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

As ações de uma empresa têm beta de 1,4 na sua relação dívida/capital próprio atual de 0,2. Ela planeja elevar a relação dívida/capital próprio para 1. A alíquota de imposto é 30%, a taxa livre de risco 2% e o prêmio de risco de mercado 6,5%. Encontre o custo do capital próprio r_e após a mudança.

β_L = 1,4D/E₁ = 0,2D/E₂ = 1T = 30%r_f = 2%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

7.VAL e TIRMédia

Um investimento de €45 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €15 000, €21 000, €17 000. O custo do capital é de 7,000000000000001 %. Calcule o valor atual líquido NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −45 000CF₁ = 15 000CF₂ = 21 000CF₃ = 17 000

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €80 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €9 500 no final do ano 1 e cresce 4% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 10. O custo de capital é 12%. Encontre o valor presente líquido NPV.

C₀ = €80 000CF₁ = €9 500g = 4%n = 10r = 12%

NPV = €

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: PV = 29655 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa e número de períodos

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·5 = 60

Valor atual

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1,349 = €29 654,89

Resposta

PV = €29 654,89

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 17537 €

Taxa mensal e número de depósitos

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·20 = 240

Valor futuro dos depósitos

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(2,052 − 1)/0,003 = €17 537,00

Resposta

FV = €17 537,00

Pôs €12 000 do seu bolso; o resto são juros.

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: c = 8,007 %

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Valor presente do valor de face

1000·(1 + 0,05)⁻⁷ = €710,68

Cupom

C = (1174 − 710,68)/5,786 = €80,07

Taxa de cupom

c = 80,07/1000 = 8,007%

Resposta

c = 8,007%

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: D = 4,591 anos

Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Valor atual de cada fluxo

t = 1: 40/1,08 = 37,04, t·PV = 37,04

t = 2: 40/1,166 = 34,29, t·PV = 68,59

t = 3: 40/1,26 = 31,75, t·PV = 95,26

t = 4: 40/1,36 = 29,40, t·PV = 117,60

t = 5: 1040/1,469 = 707,81, t·PV = 3 539,03

Duration

P = 840,29

D = 3 857,52/840,29 = 4,591

Resposta

D = 4,591 anos

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 8,447 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos a partir de D/E

E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714

D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·12% + 0,4286·5%·(1 − 0,258) = 8,447%

Resposta

WACC = 8,447%

6.CAPM e WACC

Resposta: r_e = 15,57 %

Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), onde β_U é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.

Desalavanque o beta

β_U = 1,4/(1 + 0,7·0,2) = 1,228

Realavanque com o novo D/E

β_L = 1,228·(1 + 0,7·1) = 2,088

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 2% + 2,088·6,5% = 15,57%

Resposta

r_e = 15,57%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = 1238 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor atual de cada fluxo

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 15 000/1,07 = 14 018,69

CF₂/(1 + 0,07)² = 21 000/1,145 = 18 342,21

CF₃/(1 + 0,07)³ = 17 000/1,225 = 13 877,06

Somar

NPV = €1 237,97

Resposta

NPV = €1 237,97

O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.

8.VAL e TIR

Resposta: NPV = −17846 €

Valor presente da anuidade crescente

((1,04)/(1,12))¹⁰ = 0,4766

PV = 9 500/(0,12 − 0,04)·(1 − 0,4766) = 62 153,86

NPV

NPV = 62 153,86 − 80 000 = −€17 846,14

Resposta

NPV = −€17 846,14

O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.

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