Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Investe €3 000 a uma taxa nominal de 6 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 7 anos.

PV = €3 0006% / 4n = 7

FV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Poupa €50 no fim de cada mês durante 18 anos. A conta rende 2,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.

A = €502,4% / 12N = 216

FV = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4,5% em dois pagamentos semestrais e vence em 5 anos. O rendimento até o vencimento é de 5% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 4,5%YTM = 5%n = 5

P = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 2% e vence em 4 anos. O rendimento até o vencimento é 2,5%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.

F = €1 000cupom = 2%n = 4YTM = 2,5%

D = anos

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €10 000 000 e dívida de €1 000 000. Seu custo do capital próprio é 14%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 20%. Calcule o WACC.

E = €10 000 000D = €1 000 000r_e = 14%r_d = 4,5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem 5 000 000 ações a €9,00 cada e 5 000 títulos negociados a €1 020 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 30%. O beta da ação é 1,2, a taxa livre de risco é 1,5% e o retorno do mercado é 7,5%. Calcule o WACC.

β = 1,2r_f = 1,5%r_m = 7,5%r_d = 3,5%T = 30%

WACC = %

7.VAL e TIRMédia

Um investimento de €30 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €15 000, €11 000, €12 000, €14 000. O custo do capital é de 6 %. Calcule o valor atual líquido NPV.

r = 6%CF₀ = −30 000CF₁ = 15 000CF₂ = 11 000CF₃ = 12 000CF₄ = 14 000

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €25 000 e devolve €9 000, €18 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −25 000CF₁ = 9 000CF₂ = 18 000

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 4552 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa e número de períodos

i = r/m = 0,06/4 = 0,015

N = m·n = 4·7 = 28

Valor futuro

FV = 3 000·(1 + 0,015)²⁸ = 3 000·1,517 = €4 551,67

Resposta

FV = €4 551,67

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 13492 €

Taxa mensal e número de depósitos

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·18 = 216

Valor futuro dos depósitos

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(1,54 − 1)/0,002 = €13 491,77

Resposta

FV = €13 491,77

Pôs €10 800 do seu bolso; o resto são juros.

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 978,1 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €22,50, i = 0,025, N = 10

Valor presente dos cupons

€22,50·(1 − 0,7812)/0,025 = €196,92

Valor presente do valor de face

€1 000·0,7812 = €781,20

Preço

P = €978,12

Resposta

P = €978,12

O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: D = 3,883 anos

Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Valor atual de cada fluxo

t = 1: 20/1,025 = 19,51, t·PV = 19,51

t = 2: 20/1,051 = 19,04, t·PV = 38,07

t = 3: 20/1,077 = 18,57, t·PV = 55,72

t = 4: 1020/1,104 = 924,07, t·PV = 3 696,28

Duration

P = 981,19

D = 3 809,58/981,19 = 3,883

Resposta

D = 3,883 anos

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 13,05 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €11 000 000, E/V = 0,9091, D/V = 0,09091

WACC

WACC = 0,9091·14% + 0,09091·4,5%·(1 − 0,2) = 13,05%

Resposta

WACC = 13,05%

6.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 8,064 %

Valores de mercado

E = 5 000 000·€9,00 = €45 000 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,2·6% = 8,7%

Pesos

V = €50 100 000, E/V = 0,8982, D/V = 0,1018

WACC

WACC = 0,8982·8,7% + 0,1018·3,5%·(1 − 0,3) = 8,064%

Resposta

WACC = 8,064%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = 15106 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor atual de cada fluxo

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 15 000/1,06 = 14 150,94

CF₂/(1 + 0,06)² = 11 000/1,124 = 9 789,96

CF₃/(1 + 0,06)³ = 12 000/1,191 = 10 075,43

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 14 000/1,262 = 11 089,31

Somar

NPV = €15 105,65

Resposta

NPV = €15 105,65

O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 4,741 %

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(0%) = 2 000,00

NPV(5%) = −102,04

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 0 + 5·2 000,00/(2 000,00 − (−102,04)) = 4,757%

exato: NPV(4,741%) = 0 → IRR = 4,741%

Resposta

IRR = 4,741%

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