Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Investe €5 000 a uma taxa nominal de 4 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 9 anos.

PV = €5 0004% / 4n = 9

FV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Você quer €25 000 daqui a 9 anos. Você poupa o mesmo valor no final de cada mês em uma conta que rende 3% ao ano, capitalizados mensalmente. Encontre o depósito mensal A.

FV = €25 0003% / 12N = 108

A = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% em dois pagamentos semestrais e vence em 8 anos. O rendimento até o vencimento é de 6% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 7%YTM = 6%n = 8

P = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título é negociado a €1 100 com rendimento até o vencimento de 3% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 4,9 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento cair 150 pontos-base.

P₀ = €1 100y = 3%D = 4,9Δy = −150 bp

P = €

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €2 000 000 e dívida de €4 000 000. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 25%. Calcule o WACC.

E = €2 000 000D = €4 000 000r_e = 13%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem 4 000 000 ações a €56,50 cada e 10 000 títulos negociados a €960 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 20%. O beta da ação é 1,2, a taxa livre de risco é 1,5% e o retorno do mercado é 5,5%. Calcule o WACC.

β = 1,2r_f = 1,5%r_m = 5,5%r_d = 4,5%T = 20%

WACC = %

7.VAL e TIRMédia

Uma máquina custa €40 000 hoje, dura 5 anos e custa €3 000 por ano para operar (pagos no final de cada ano). O custo de capital é 10%. Encontre seu custo anual equivalente EAC.

C₀ = €40 000M = €3 000n = 5r = 10%

EAC = €

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €50 000 e devolve €22 000, €36 500 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −50 000CF₁ = 22 000CF₂ = 36 500

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 7154 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa e número de períodos

i = r/m = 0,04/4 = 0,01

N = m·n = 4·9 = 36

Valor futuro

FV = 5 000·(1 + 0,01)³⁶ = 5 000·1,431 = €7 153,84

Resposta

FV = €7 153,84

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: A = 201,9 €

Taxa mensal e número de depósitos

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·9 = 108

Depósito

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 25 000·0,0025/(1,31 − 1) = €201,92

Resposta

A = €201,92

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 1063 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €35,00, i = 0,03, N = 16

Valor presente dos cupons

€35,00·(1 − 0,6232)/0,03 = €439,64

Valor presente do valor de face

€1 000·0,6232 = €623,17

Preço

P = €1 062,81

Resposta

P = €1 062,81

O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 1178 €

Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Duration modificada

D_mod = 4,9/1,03 = 4,757

Variação estimada do preço

%ΔP ≈ −4,757·(−0,015) = 7,136%

P ≈ 1100·(1 + 0,07136) = €1 178,50

Resposta

P = €1 178,50

A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 5,833 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €6 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667

WACC

WACC = 0,3333·13% + 0,6667·3%·(1 − 0,25) = 5,833%

Resposta

WACC = 5,833%

6.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 6,19 %

Valores de mercado

E = 4 000 000·€56,50 = €226 000 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,2·4% = 6,3%

Pesos

V = €235 600 000, E/V = 0,9593, D/V = 0,04075

WACC

WACC = 0,9593·6,3% + 0,04075·4,5%·(1 − 0,2) = 6,19%

Resposta

WACC = 6,19%

7.VAL e TIR

Resposta: EAC = 13552 €

Custo anual equivalente: distribua o valor presente de todos os custos ao longo da vida como um valor anual igual (uma anuidade): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Isso permite comparar máquinas com vidas diferentes.

Fator de anuidade

(1 − 1,1⁻⁵)/0,1 = 3,791

Preço de compra anualizado

40 000/3,791 = 10 551,90

EAC

EAC = 10 551,90 + 3 000 = €13 551,90

Resposta

EAC = €13 551,90

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 10,23 %

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(10%) = 165,29

NPV(15%) = −3 270,32

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 10 + 5·165,29/(165,29 − (−3 270,32)) = 10,24%

exato: NPV(10,23%) = 0 → IRR = 10,23%

Resposta

IRR = 10,23%

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