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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Precisa de €10 000 daqui a 8 anos. Uma conta rende 2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €10 0002% / 12n = 8
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você toma emprestado €8 000 a 4,8% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €150 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.
P = €8 000A = €1504,8% / 12
N = pagamentos
3.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 5% e vence em 12 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 4% para 2,5%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 5%n = 12y1 = 4%y2 = 2,5%
ΔP = €
4.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título é negociado a €1 070 com rendimento até o vencimento de 4% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 8,8 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento subir 75 pontos-base.
P0 = €1 070y = 4%D = 8,8Δy = +75 bp
P = €
5.CAPM e WACCMédia
Uma empresa é financiada com ações ordinárias no valor de €10 000 000, ações preferenciais no valor de €2 000 000 e dívida no valor de €2 000 000. O custo do capital próprio é 9%, o custo das ações preferenciais 6% e o custo da dívida antes dos impostos 6%. A alíquota de imposto é 21%. Encontre o WACC.
O negócio de uma empresa tem beta desalavancado (dos ativos) de 1. Ela planeja uma relação dívida/capital próprio de 0,75. A alíquota de imposto é 21%, a taxa livre de risco é 1,5% e o prêmio de risco de mercado é 6,5%. Encontre o custo do capital próprio re na nova estrutura de capital.
βU = 1D/E = 0,75T = 21%rf = 1,5%rm − rf = 6,5%
re = %
7.VAL e TIRMédia
Uma máquina custa €30 000 hoje, dura 9 anos e custa €4 000 por ano para operar (pagos no final de cada ano). O custo de capital é 8%. Encontre seu custo anual equivalente EAC.
C0 = €30 000M = €4 000n = 9r = 8%
EAC = €
8.VAL e TIRDifícil
Um investimento de €25 000 retorna €11 000 no final de cada ano durante 3 anos. Encontre sua taxa interna de retorno IRR em porcentagem.
C0 = €25 000CF = €11 000n = 3
IRR = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 8523 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,02/12 = 0,001667
N = 12·8 = 96
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,173 = €8 522,57
Resposta
PV = €8 522,57
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: N = 61 pagamentos
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Reorganize a fórmula da anuidade
i = 0,004
(1 + i)−N = 1 − 8 000·0,004/150 = 0,7867
Resolver com logaritmos
N = −ln(0,7867)/ln(1,004) = 60,11
Arredonde para cima até pagamentos inteiros
60 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.
N = 61
Resposta
N = 61 pagamentos
3.Preço e rendimento de títulos
Resposta: ΔP = 162,6 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificada
Dmod = 8,8/1,04 = 8,462
Variação estimada do preço
%ΔP ≈ −8,462·(0,0075) = −6,346%
P ≈ 1070·(1 − 0,06346) = €1 002,10
Resposta
P = €1 002,10
A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.
5.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,963 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Beta alavancado
βL = 1·(1 + 0,79·0,75) = 1,593
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 1,5% + 1,593·6,5% = 11,85%
Resposta
re = 11,85%
7.VAL e TIR
Resposta: EAC = 8802 €
Custo anual equivalente: distribua o valor presente de todos os custos ao longo da vida como um valor anual igual (uma anuidade): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Isso permite comparar máquinas com vidas diferentes.
Fator de anuidade
(1 − 1,08−9)/0,08 = 6,247
Preço de compra anualizado
30 000/6,247 = 4 802,39
EAC
EAC = 4 802,39 + 4 000 = €8 802,39
Resposta
EAC = €8 802,39
8.VAL e TIR
Resposta: IRR = 15,28 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Fator de anuidade necessário
(1 − (1 + i)−3)/i = 25 000/11 000 = 2,273
Resolver para a taxa
O fator de anuidade diminui quando a taxa aumenta; delimite a taxa e vá estreitando o intervalo.