Projeto de Máquinas: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Engrenagens e trens de engrenagens

Engrenagens acopladas: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torque: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Potência: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Trem composto: relação total = produto das relações de cada estágio

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

Vibrações mecânicas

Frequência natural: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
A partir da deflexão estática: ω_n = √(g/δ_st)
Amortecimento crítico: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Fator de amortecimento: ζ = c/c_c
Frequência amortecida: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Decremento logarítmico: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Molas em paralelo: k = k₁ + k₂
Molas em série: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Exercícios

1.Engrenagens e trens de engrenagensMédia

Dois eixos paralelos estão a 108 mm de distância. Eles devem ser ligados por um par de engrenagens de dentes retos com módulo de 3 mm e redução de 3,5 : 1. Quantos dentes N₂ a engrenagem deve ter?

a = 108 mmm = 3 mmi = 3,5

N₂ =

2.Engrenagens e trens de engrenagensDifícil

Em um trem de engrenagens planetário a engrenagem solar tem 20 dentes e cada satélite tem 12 dentes. O porta-satélites é mantido fixo e a solar é acionada a 1500 rpm. Encontre a rotação n_r da coroa (em módulo).

N_s = 20N_p = 12n_s = 1500 rpm

n_r = rpm

3.Torção de eixosMédia

Em um ensaio de torção, um corpo de prova maciço de diâmetro 15 mm é torcido por um torque de 40 N·m. As duas extremidades de um comprimento de referência de 250 mm giram 2,96° uma em relação à outra (o material ainda está no regime elástico). Encontre o módulo de elasticidade transversal G do material.

T = 40 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 2,96°

G = GPa

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado deve transmitir 15 kW a 500 rpm. Seu diâmetro interno deve ser 0,5 vezes o diâmetro externo, e a tensão de cisalhamento não pode passar de 75 MPa. Encontre o menor diâmetro externo d_o.

P = 15 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −20 MPa, σᵧ = 70 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θ_p do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σ_x = −20 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

6.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −50 MPa, σᵧ = −60 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento τ_θ em um plano cuja normal está girada 45° no sentido anti-horário a partir do eixo x (positiva no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = −50 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 45°

τ_θ = MPa

7.Tensão e deformação axialMédia

Uma barra é feita de um trecho de aço (diâmetro 20 mm, comprimento 500 mm, E = 200 GPa) unido topo a topo a um trecho de bronze (diâmetro 50 mm, comprimento 400 mm, E = 110 GPa). Ela é fixa em uma extremidade e puxada na outra. Encontre a carga axial P que a alonga 0,4 mm no total.

trecho 1: aço, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPatrecho 2: bronze, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 30 mm, comprimento 400 mm, E = 200 GPa) e um trecho de cobre (diâmetro 40 mm, comprimento 200 mm, E = 120 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 50 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPatrecho 2: cobre, Ø40 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

10.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Ele deve suportar 130 kN com um fator de segurança de 3 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 130 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

11.Vibrações mecânicasMédia

Uma massa de 5 kg sobre uma mola com rigidez de 80 kN/m tem um amortecedor viscoso que dá um fator de amortecimento de 0,6. Encontre a frequência natural amortecida f_d da sua vibração livre em Hz.

m = 5 kgk = 80 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

12.Vibrações mecânicasDifícil

Uma massa de 20 kg está pendurada em duas molas lado a lado (em paralelo), com rigidezes k₁ = 80 kN/m e k₂ = 25 kN/m. A massa permanece nivelada. Encontre a rigidez equivalente k_eq do sistema de molas em kN/m.

m = 20 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3Soluções

1.Engrenagens e trens de engrenagens

Resposta: N₂ = 56

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Número total de dentes

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·108/3 = 72

Divida pela relação

N₁ = 72/(1 + 3,5) = 16

N₂ = 3,5·16 = 56

Resposta

N₂ = 56

2.Engrenagens e trens de engrenagens

Resposta: n_r = 681,8 rpm

Trens de engrenagens planetários: as rotações da solar, da coroa e do porta-satélites estão ligadas pela equação de Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: visto do porta-satélites, o conjunto é um trem comum com os satélites como engrenagens intermediárias. Manter um membro fixo transforma o conjunto em um redutor de relação única.

Dentes da coroa

N_r = N_s + 2·N_p = 20 + 2·12 = 44

Equação de Willis com o porta-satélites fixo

Com n_c = 0 a solar aciona a coroa através dos satélites, que funcionam como engrenagens intermediárias.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1500·20/44 = −681,8 rpm

|n_r| = 681,8 rpm

Resposta

n_r = 681,8 rpm

A coroa gira no sentido oposto ao da solar.

3.Torção de eixos

Resposta: G = 38,95 GPa

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar e ângulo

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 2,96·π/180 = 0,05166 rad

Módulo de cisalhamento

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·250/(4970·0,05166) = 38946 MPa

G = 38,95 GPa

Resposta

G = 38,95 GPa

Compare: aço ≈ 80 GPa, latão ≈ 39 GPa, alumínio ≈ 26 GPa.

4.Torção de eixos

Resposta: d_o = 27,48 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

Diâmetro externo pela tensão admissível

T = 286,5 N·m = 286479 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·286479/(π·75·0,9375)) = 27,48 mm

d_i = 0,5·27,48 = 13,74 mm

Resposta

d_o = 27,48 mm

Um eixo maciço precisaria de d = 26,89 mm; o vazado é um pouco maior, mas muito mais leve.

5.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_p = −83,74 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−10, −20 − 70) = −167,5°

Ângulo no elemento

θ_p = −83,74°

Resposta

θ_p = −83,74°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

6.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_θ = −5 MPa

Equação de transformação

τ_θ = −5·1 + −20·0 = −5 MPa

Resposta

τ_θ = −5 MPa

7.Tensão e deformação axial

Resposta: P = 40,78 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·1963) = 1,852 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,4/9,81 × 10⁻⁶ = 40776 N = 40,78 kN

Resposta

P = 40,78 kN

8.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 27,09 MPa

Rigidezes

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 120000·1257/200 = 753982 N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 50000·753982/1,107 × 10⁶ = 34043 N

Tensão

σ₂ = 34043/1257 = 27,09 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 27,09 MPa

9.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 5,757 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·1000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/2000² = 5757 N = 5,757 kN

Resposta

P_cr = 5,757 kN

10.Flambagem de pilares

Resposta: d = 100,2 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 3·130000 = 390000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·390000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 100,2 mm

Resposta

d = 100,2 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 199,7, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

11.Vibrações mecânicas

Resposta: f_d = 16,11 Hz

Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ω_n = √(k/m) em rad/s, e f_n = ω_n/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/c_c, com amortecimento crítico c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frequência natural não amortecida

ω_n = √(80000/5) = 126,5 rad/s

f_n = 126,5/(2π) = 20,13 Hz

Frequência natural amortecida

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 20,13·√(1 − 0,6²) = 16,11 Hz

Resposta

f_d = 16,11 Hz

12.Vibrações mecânicas

Resposta: k_eq = 105 kN/m

Rigidez equivalente

Molas lado a lado compartilham a deflexão e somam suas forças, então suas rigidezes simplesmente se somam: k = k₁ + k₂.

k_eq = 80 + 25 = 105 kN/m

Resposta

k_eq = 105 kN/m

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