Medição e Instrumentação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Tensões dos divisores: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Saídas: V_ab = V_a − V_b
Balanço: R₁/R₂ = R₃/R₄
Ponte de fio: R/R_x = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Fator do extensômetro: ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte: quarto V_s·GF·ε/4, meia V_s·GF·ε/2, completa V_s·GF·ε
Pequena variação, um braço: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Tensão: σ = E·ε

Método

Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
Para uma ponte desequilibrada, encontre V_a e V_b a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use V_s·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.

Aquisição de dados e amostragem

Critério de Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Frequência de aliasing: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Tamanho do passo: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento): ±½ LSB
Código do ADC com truncamento: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits para uma resolução r: 2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados: canais × f_s × N bit/s
ADC multiplexado: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud: baud = f_clk/(16·D)

Método

Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
Em questões de amostragem, compare cada frequência com f_s/2; uma frequência mais alta aparece em f_a = |f − k·f_s|, com o múltiplo de f_s mais próximo.
Em questões de resolução, determine 1 LSB = V_FSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

Circuitos com amplificadores operacionais

Amplificador inversor: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Amplificador não inversor: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Amplificador somador: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Amplificador operacional ideal: V₊ = V₋, I_in = 0

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Thévenin e Norton

Tensão de Thévenin: V_th = V_{open circuit}
Resistência de Thévenin: R_th: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton: I_N = V_th/R_th
Corrente na carga: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Máxima transferência de potência: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Método

Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é V_th.
Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é R_th.
Recoloque a carga no circuito equivalente: V_th em série com R_th.
Para o equivalente de Norton, converta: I_N = V_th/R_th, com R_N = R_th em paralelo.

2Exercícios

1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia

Encontre a resistência de Thévenin R_th da ponte mostrada, vista dos terminais de saída a e b.

V_s = 15 VR₁ = 600 ΩR₂ = 50 ΩR₃ = 100 ΩR₄ = 800 Ω

R_th = Ω

2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil

Uma célula de carga (uma ponte completa de extensômetros) tem uma saída nominal de 1 mV/V na carga nominal de 500 kg. Ela é excitada com 10 V. Encontre sua saída V_o sob uma carga de 200 kg.

1 mV/VF_rated = 500 kgV_s = 10 VF = 200 kg

V_o = mV

3.Aquisição de dados e amostragemMédia

Um ADC com faixa de entrada de 0 a 2,5 V deve resolver passos de 0,1 mV ou menores. Encontre o menor número de bits N.

V_FSR = 2,5 Vresolução = 0,1 mV

N =

4.Aquisição de dados e amostragemDifícil

Um sensor de temperatura fornece 10 mV/°C (0 V a 0 °C). Seu sinal é amplificado 4 vezes e entra em um ADC de 12 bits com faixa de 0 a 3,3 V (1 LSB = V_FSR/2ᴺ). Encontre a variação de temperatura ΔT_LSB que corresponde a um LSB.

S = 10 mV/°CG = 4N = 12V_FSR = 3,3 V

ΔT_LSB = °C

5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia

O amplificador operacional é ideal e alimentado com ±15 V; sua saída satura em ±12 V. O amplificador não inversor é alimentado por uma onda senoidal. Encontre a maior amplitude de entrada V_in,max (valor de pico) para a qual a saída não é ceifada.

R₁ = 47 kΩR_f = 100 kΩV_sat = ±12 V

V_in,max = V

6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil

O integrador usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V; sua saída satura em ±12 V. O capacitor está descarregado quando uma entrada constante V_in = 1,1 V é aplicada em t = 0. Encontre a tensão de saída V_out em t = 5 ms.

V_in = 1,1 VR = 10 kΩC = 0,22 µFV_sat = ±12 Vt = 5 ms

V_out = V

7.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 3 Ω

R_eq = Ω

8.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 10 Ω

I_R1 = A

9.Thévenin e NortonMédia

Uma carga R_L = 12 Ω é ligada entre a–b. Substitua o resto do circuito pelo seu equivalente de Thévenin e encontre a corrente na carga I_L.

V₁ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 15 ΩR_L = 12 Ω

I_L = A

10.Thévenin e NortonDifícil

Uma carga R_L = 6 Ω é ligada entre a–b. Use um equivalente de Thévenin para encontrar a potência P_L entregue à carga.

V₁ = 18 VI_s = 6 AR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 8 ΩR_L = 6 Ω

P_L = W

3Soluções

1.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: R_th = 135 Ω

Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação V_s. O divisor da esquerda R₁–R₂ dá V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) e o divisor da direita R₃–R₄ dá V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); a saída é V_ab = V_a − V_b. A ponte está equilibrada (V_ab = 0, sem corrente no medidor) quando R₁/R₂ = R₃/R₄, isto é, R₁·R₄ = R₂·R₃. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Alimentação em curto

R₁∥R₂ = 600·50/650 = 46,15 Ω

R₃∥R₄ = 100·800/900 = 88,89 Ω

Resistência de Thévenin

R_th = 135 Ω

Resposta

R_th = 135 Ω

2.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: V_o = 4 mV

Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão V_s·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão V_s·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.

Saída em fundo de escala

1·10 = 10 mV

Saída nesta carga

V_o = 10·200/500 = 4 mV

Resposta

V_o = 4 mV

3.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: N = 15

Resolução do ADC: um conversor de N bits divide sua faixa de fundo de escala V_FSR em 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Um passo é 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: a menor variação que o conversor consegue mostrar. Um ADC com truncamento dá o código ⌊V_in/LSB⌋; um ADC com arredondamento nunca fica a mais de ½ LSB do valor verdadeiro, seu erro de quantização. Cada bit a mais reduz o LSB à metade e acrescenta cerca de 6 dB à relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para uma senoide de fundo de escala. Para alcançar uma resolução r em uma faixa, escolha o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/r.

Passos necessários

2500 mV/0,1 mV = 25000

Bits

log₂(25000) = 14,61

2¹⁴ = 16384 < 25000 ≤ 2¹⁵ = 32768

N = 15

Resposta

N = 15

4.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: ΔT_LSB = 0,02014 °C

Tamanho do passo

1 LSB = 3300/4096 = 0,8057 mV

Sensibilidade no ADC

10·4 = 40 mV/°C

Resolução de temperatura

ΔT_LSB = 0,8057/40 = 0,02014 °C

Resposta

ΔT_LSB = 0,02014 °C

O ADC atinge o fundo de escala a 82,5 °C.

5.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: V_in,max = 3,837 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Ganho

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 100/47 = 3,128

Maior entrada antes do ceifamento

V_in,max = V_sat/|A_v| = 12/3,128 = 3,837 V

Resposta

V_in,max = 3,837 V

6.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: V_out = −2,5 V

Corrente de entrada e taxa da rampa

kΩ vezes µF dá milissegundos.

RC = 10 kΩ · 0,22 µF = 2,2 ms

taxa da rampa = −V_in/(RC) = −1,1/2,2 = −0,5 V/ms

Saída no instante dado

O valor ideal fica dentro de ±V_sat, então o integrador ainda não saturou.

V_out = −V_in·t/(RC) = −1,1·5/2,2 = −2,5 V

Resposta

V_out = −2,5 V

7.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 24,29 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 12 + 3 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 6·15/(6+15) = 4,286 Ω

R_eq = R₁ + 4,286 = 20 + 4,286 = 24,29 Ω

Resposta

R_eq = 24,29 Ω

8.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,102 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 8 + 10 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 5,538 Ω

R₃ + 5,538 = 30,54 Ω

R₂ ∥ 30,54 = 6,339 Ω

R_eq = R₁ + 6,339 = 10 + 6,339 = 16,34 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/16,34 = 1,102 A

Resposta

I_R1 = 1,102 A

9.Thévenin e Norton

Resposta: I_L = 0,8242 A

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão V_th em série com uma resistência R_th. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente I_N = V_th/R_th em paralelo com R_th.

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R₁ ∥ R₂ = 4·20/(4+20) = 3,333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,333 + 15 = 18,33 Ω

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, não passa corrente por R₃, então não há queda nele e V_b = V_A. R₁ e R₂ formam um divisor de tensão.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 30·20/(4+20) = 25 V

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

A fonte de Thévenin e R_th em série se comportam exatamente como o circuito original em a–b, então a carga vê uma malha simples em série.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 25/(18,33 + 12) = 0,8242 A

10.Thévenin e Norton

Resposta: P_L = 56,1 W

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R₁ ∥ R₂ = 4·20/(4+20) = 3,333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,333 + 8 = 11,33 Ω

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 15 + (−6)·3,333 = −5 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −5 + (−6)·8 = −53 V

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

A fonte de Thévenin e R_th em série se comportam exatamente como o circuito original em a–b, então a carga vê uma malha simples em série.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −53/(11,33 + 6) = −3,058 A

P_L = I_L²·R_L = −3,058²·6 = 56,1 W

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Método

Aquisição de dados e amostragem

Método

Circuitos com amplificadores operacionais

Resistores em série e paralelo

Método

Thévenin e Norton

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3Soluções

Alimentação em curto

Resistência de Thévenin

Resposta

Saída em fundo de escala

Saída nesta carga

Resposta

Passos necessários

Bits

Resposta

Tamanho do passo

Sensibilidade no ADC

Resolução de temperatura

Resposta

Ganho

Maior entrada antes do ceifamento

Resposta

Corrente de entrada e taxa da rampa

Saída no instante dado

Resposta

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Resposta

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Corrente da fonte

Resposta

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto