Medição e Instrumentação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Tensões dos divisores
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Saídas
Vab = Va − Vb
Balanço
R1/R2 = R3/R4
Ponte de fio
R/Rx = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Fator do extensômetro
ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte
quarto Vs·GF·ε/4, meia Vs·GF·ε/2, completa Vs·GF·ε
Pequena variação, um braço
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tensão
σ = E·ε

Método

  1. Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
  2. Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
  3. Para uma ponte desequilibrada, encontre Va e Vb a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
  4. Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use Vs·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.

Aquisição de dados e amostragem

Critério de Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frequência de aliasing
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Tamanho do passo
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento)
±½ LSB
Código do ADC com truncamento
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits para uma resolução r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados
canais × fs × N bit/s
ADC multiplexado
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud
baud = fclk/(16·D)

Método

  1. Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
  2. Em questões de amostragem, compare cada frequência com fs/2; uma frequência mais alta aparece em fa = |f − k·fs|, com o múltiplo de fs mais próximo.
  3. Em questões de resolução, determine 1 LSB = VFSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
  4. Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

Circuitos com amplificadores operacionais

Amplificador inversor
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Amplificador não inversor
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Amplificador somador
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Amplificador operacional ideal
V+ = V−, Iin = 0

Resistores em série e paralelo

Resistências em série
Req = R1 + R2 + …
Resistências em paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dois em paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Lei de Ohm
V = I·R
Potência
P = V·I = I²R = V²/R

Método

  1. Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
  2. Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Redesenhe o circuito após cada passo.
  4. Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Thévenin e Norton

Tensão de Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistência de Thévenin
Rth: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton
IN = Vth/Rth
Corrente na carga
IL = Vth/(Rth + RL)
Máxima transferência de potência
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Método

  1. Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
  2. Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é Vth.
  3. Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é Rth.
  4. Recoloque a carga no circuito equivalente: Vth em série com Rth.
  5. Para o equivalente de Norton, converta: IN = Vth/Rth, com RN = Rth em paralelo.

2Exercícios

1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia
+−12 V120 Ω120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−Vab​ = ?

Uma ponte tem quatro braços de 120 Ω e Vs = 12 V. O sensor R₂ aumenta de ΔR = 0,24 Ω. Usando a aproximação para pequenas variações, encontre a saída Vab em mV.

Vs = 12 VR = 120 ΩΔR = 0,24 Ω
Vab = mV
2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil
+−2,5 V1000 Ω1000 Ω + ΔR1000 Ω1000 Ωab+−1,537 mV

Um quarto de ponte com um extensômetro ativo (GF = 2,05) é excitado com 2,5 V. Sob carga a saída marca 1,537 mV. Encontre a deformação ε em µε.

Vs = 2,5 VGF = 2,05Vo = 1,537 mV
ε = µε
3.Aquisição de dados e amostragemMédia
Vin​N = 24VFSR​2ᴺ − 101 LSB

Encontre a relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR de um ADC de 24 bits para uma senoide de fundo de escala.

N = 24
SQNR = dB
4.Aquisição de dados e amostragemDifícil
1216⋮16 ch∿01tc​ = 20 µstset​ = 2,5 µsfs​ = ?

Um multiplexador de 16 canais alimenta um único ADC. Cada conversão leva 20 µs e, após cada troca de canal, a entrada precisa de 2,5 µs para se estabilizar. Os canais são varridos em sequência, sem pausa. Encontre a taxa de amostragem fs de cada canal, em kHz.

n = 16tc = 20 µstset = 2,5 µs
fs = kHz
5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia
−+Vout​Rf​ = 22 kΩR1​ = 10 kΩVin​ = 1,9 V

O amplificador operacional é ideal e alimentado com ±15 V. Encontre a tensão de saída Vout.

Vin = 1,9 VR1 = 10 kΩRf = 22 kΩ
Vout = V
6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil
Vin​V1​Vout​estágio 1: inversorR1​ = 47 kΩRf1​ = 100 kΩestágio 2: não inversorR2​ = 4,7 kΩRf2​ = 1 kΩ

Dois estágios com amplificador operacional ideal estão ligados em cascata: um amplificador inversor (R1, Rf1) seguido de um amplificador não inversor (R2 para o terra, Rf2 na realimentação). Os dois são alimentados com ±15 V. Encontre o ganho de tensão total Av = Vout/Vin.

R1 = 47 kΩRf1 = 100 kΩR2 = 4,7 kΩRf2 = 1 kΩ
Av =
7.Resistores em série e paraleloMédia
R1​ = 12 ΩIR1​R3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​2 ΩAR4​8 ΩB

Encontre a corrente IR1 fornecida pela fonte, que passa por R1.

V1 = 6 VR1 = 12 ΩR2 = 2 ΩR3 = 10 ΩR4 = 8 Ω
IR1 = A
8.Resistores em série e paraleloDifícil
R1​ = 2 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​12 VR2​15 ΩAR4​30 ΩBR6​8 Ω

Encontre a resistência equivalente Req vista pela fonte V1.

V1 = 12 VR1 = 2 ΩR2 = 15 ΩR3 = 6 ΩR4 = 30 ΩR5 = 5 ΩR6 = 8 Ω
Req = Ω
9.Thévenin e NortonMédia
R1​ = 2 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩARL​15 ΩIL​B

Uma carga RL = 15 Ω é ligada entre a–b. Substitua o resto do circuito pelo seu equivalente de Thévenin e encontre a corrente na carga IL.

V1 = 18 VR1 = 2 ΩR2 = 15 ΩR3 = 10 ΩRL = 15 Ω
IL = A
10.Thévenin e NortonDifícil
R1​ = 3 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​9 VR2​30 ΩAIs​6 ABab

Encontre a tensão de Thévenin Vth vista dos terminais a–b.

V1 = 9 VIs = 6 AR1 = 3 ΩR2 = 30 ΩR3 = 25 Ω
Vth = V

3Soluções

1.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: Vab = 6 mV

Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação Vs. O divisor da esquerda R1–R2 dá Va = Vs·R2/(R1 + R2) e o divisor da direita R3–R4 dá Vb = Vs·R4/(R3 + R4); a saída é Vab = Va − Vb. A ponte está equilibrada (Vab = 0, sem corrente no medidor) quando R1/R2 = R3/R4, isto é, R1·R4 = R2·R3. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

Variação relativa

ΔR/R = 0,24/120 = 0,002

Saída linearizada

Vab ≈ 12·0,002/4 = 6 mV

Resposta

Vab = 6 mV

O valor exato é 5,994 mV; a aproximação é boa enquanto ΔR/R for pequeno.

2.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: ε = 1200 µε

Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão Vs·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão Vs·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.

Resolva a equação do quarto de ponte

ε = 4·0,001537/(2,5·2,05) = 0,0012

Em microdeformação

ε = 1200 µε

Resposta

ε = 1200 µε
3.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: SQNR = 146,2 dB

Resolução do ADC: um conversor de N bits divide sua faixa de fundo de escala VFSR em 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Um passo é 1 LSB = VFSR/2ᴺ: a menor variação que o conversor consegue mostrar. Um ADC com truncamento dá o código ⌊Vin/LSB⌋; um ADC com arredondamento nunca fica a mais de ½ LSB do valor verdadeiro, seu erro de quantização. Cada bit a mais reduz o LSB à metade e acrescenta cerca de 6 dB à relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para uma senoide de fundo de escala. Para alcançar uma resolução r em uma faixa, escolha o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/r.

SQNR ideal

SQNR = 6,02·24 + 1,76 = 146,2 dB

Resposta

SQNR = 146,2 dB
4.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: fs = 2,778 kHz

Taxas de dados: cada canal fornece fs amostras por segundo de N bits, então a taxa bruta é canais × fs × N bit/s. Na memória, uma amostra ocupa bytes inteiros (uma amostra de 12 bits é armazenada em 2 bytes), então a memória para uma gravação é canais × fs × bytes por amostra × tempo. Um ADC multiplexado converte os canais um após o outro: cada conversão (com o tempo de estabilização) leva t, então uma rodada de n canais leva n·t e cada canal é amostrado a 1/(n·t).

Tempo por canal

20 + 2,5 = 22,5 µs

Tempo por varredura

16·22,5 = 360 µs

Taxa de amostragem por canal

fs = 1/360 µs = 2,778 kHz

Resposta

fs = 2,778 kHz
5.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: Vout = 6,08 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

A entrada inversora segue a entrada

V₋ = V₊ = 1,9 V
I = V₋/R1 = 1,9/10 = 0,19 mA

Tensão de saída

A corrente em R₁ também passa por Rf.

Vout = V₋ + I·Rf = 1,9 + 0,19·22 = 6,08 V

Resposta

Vout = 6,08 V
6.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: Av = −2,58

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Ganho de cada estágio

A1 = −Rf1/R1 = −100/47 = −2,128
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 1/4,7 = 1,213

Ganho total

Av = A1·A2 = −2,128·1,213 = −2,58

Resposta

Av = −2,58
7.Resistores em série e paralelo

Resposta: IR1 = 0,4348 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 12 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​2 ΩAR4​8 ΩB

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R3 + R4 = 10 + 8 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 2·18/(2+18) = 1,8 Ω
Req = R1 + 1,8 = 12 + 1,8 = 13,8 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

IR1 = V1/Req = 6/13,8 = 0,4348 A

Resposta

IR1 = 0,4348 A
8.Resistores em série e paralelo

Resposta: Req = 9,517 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 2 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​12 VR2​15 ΩAR4​30 ΩBR6​8 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R5 + R6 = 5 + 8 = 13 Ω
R4 ∥ 13 = 9,07 Ω
R3 + 9,07 = 15,07 Ω
R2 ∥ 15,07 = 7,517 Ω
Req = R1 + 7,517 = 2 + 7,517 = 9,517 Ω

Resposta

Req = 9,517 Ω
9.Thévenin e Norton

Resposta: IL = 0,5934 A

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.

R1​ = 2 ΩR3​ = 10 ΩCURTOR2​15 ΩAabRth​

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R1 ∥ R2 = 2·15/(2+15) = 1,765 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,765 + 10 = 11,76 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAab+−Vth​

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, não passa corrente por R₃, então não há queda nele e V_b = V_A. R₁ e R₂ formam um divisor de tensão.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·15/(2+15) = 15,88 V
Rth​ = 11,76 Ω+−Vth​15,88 VRL​15 ΩIL​

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

A fonte de Thévenin e R_th em série se comportam exatamente como o circuito original em a–b, então a carga vê uma malha simples em série.

IL = Vth/(Rth + RL) = 15,88/(11,76 + 15) = 0,5934 A
10.Thévenin e Norton

Resposta: Vth = 174,5 V

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.

R1​ = 3 ΩR3​ = 25 ΩCURTOR2​30 ΩAABERTOBabRth​

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R1 ∥ R2 = 3·30/(3+30) = 2,727 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,727 + 25 = 27,73 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​9 VR2​30 ΩAIs​6 ABab+−Vth​

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 8,182 + 6·2,727 = 24,55 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 24,55 + 6·25 = 174,5 V

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