Medição e Instrumentação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Tensões dos divisores: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Saídas: V_ab = V_a − V_b
Balanço: R₁/R₂ = R₃/R₄
Ponte de fio: R/R_x = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Fator do extensômetro: ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte: quarto V_s·GF·ε/4, meia V_s·GF·ε/2, completa V_s·GF·ε
Pequena variação, um braço: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Tensão: σ = E·ε

Método

Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
Para uma ponte desequilibrada, encontre V_a e V_b a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use V_s·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.

Aquisição de dados e amostragem

Critério de Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Frequência de aliasing: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Tamanho do passo: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento): ±½ LSB
Código do ADC com truncamento: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits para uma resolução r: 2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados: canais × f_s × N bit/s
ADC multiplexado: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud: baud = f_clk/(16·D)

Método

Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
Em questões de amostragem, compare cada frequência com f_s/2; uma frequência mais alta aparece em f_a = |f − k·f_s|, com o múltiplo de f_s mais próximo.
Em questões de resolução, determine 1 LSB = V_FSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

Circuitos com amplificadores operacionais

Amplificador inversor: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Amplificador não inversor: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Amplificador somador: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Amplificador operacional ideal: V₊ = V₋, I_in = 0

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Thévenin e Norton

Tensão de Thévenin: V_th = V_{open circuit}
Resistência de Thévenin: R_th: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton: I_N = V_th/R_th
Corrente na carga: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Máxima transferência de potência: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Método

Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é V_th.
Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é R_th.
Recoloque a carga no circuito equivalente: V_th em série com R_th.
Para o equivalente de Norton, converta: I_N = V_th/R_th, com R_N = R_th em paralelo.

2Exercícios

1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia

Um extensômetro de 1000 Ω é um braço (R₂) de uma ponte com quatro braços iguais de 1000 Ω e uma excitação de 10 V. Encontre a potência P_g dissipada no extensômetro, em mW. O autoaquecimento limita a excitação.

V_s = 10 VR = 1000 Ω

P_g = mW

2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil

Um extensômetro de 120 Ω com fator 2,12 está colado a uma barra de aço. Sob carga sua resistência aumenta 0,1272 Ω. Encontre a deformação ε em microdeformação (µε).

R = 120 ΩGF = 2,12ΔR = 0,1272 Ω

ε = µε

3.Aquisição de dados e amostragemMédia

Um sensor mede pressão em uma faixa de 1000 kPa, e sua saída preenche toda a faixa de entrada de um ADC. A leitura deve resolver 0,1 kPa. Encontre o menor número de bits N de que o ADC precisa.

faixa = 1000 kParesolução = 0,1 kPa

N =

4.Aquisição de dados e amostragemDifícil

Um microcontrolador com clock de 4 MHz define sua taxa de baud da UART como f_clk/(16·D), com D um número inteiro arredondado para o valor mais próximo. O alvo é 19200 baud. Encontre o erro percentual da taxa de baud real (positivo quando ela é rápida demais).

f_clk = 4 MHzalvo = 19200 Bd

e = %

5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia

O amplificador operacional é ideal e alimentado com ±15 V; sua saída satura em ±14 V. O amplificador não inversor é alimentado por uma onda senoidal. Encontre a maior amplitude de entrada V_in,max (valor de pico) para a qual a saída não é ceifada.

R₁ = 2 kΩR_f = 47 kΩV_sat = ±14 V

V_in,max = V

6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil

O integrador usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V; sua saída satura em ±12 V. O capacitor está descarregado quando uma entrada constante V_in = −2,5 V é aplicada em t = 0. Quanto tempo após t = 0 a saída atinge a saturação? Encontre t.

V_in = −2,5 VR = 47 kΩC = 4,7 µFV_sat = ±12 V

t = ms

7.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 6 Ω

I_R2 = A

8.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 8 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

9.Thévenin e NortonMédia

Uma carga R_L = 15 Ω é ligada entre a–b. Substitua o resto do circuito pelo seu equivalente de Thévenin e encontre a corrente na carga I_L.

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 15 ΩR_L = 15 Ω

I_L = A

10.Thévenin e NortonDifícil

Uma carga R_L = 20 Ω é ligada entre a–b. Substitua o resto do circuito pelo seu equivalente de Thévenin e encontre a corrente na carga I_L.

V₁ = 6 VI_s = 5 AR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR_L = 20 Ω

I_L = A

3Soluções

1.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: P_g = 25 mW

Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação V_s. O divisor da esquerda R₁–R₂ dá V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) e o divisor da direita R₃–R₄ dá V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); a saída é V_ab = V_a − V_b. A ponte está equilibrada (V_ab = 0, sem corrente no medidor) quando R₁/R₂ = R₃/R₄, isto é, R₁·R₄ = R₂·R₃. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Tensão sobre o extensômetro

V = 10/2 = 5 V

Potência

P_g = 5²/1000 = 25 mW

Resposta

P_g = 25 mW

2.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: ε = 500 µε

Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão V_s·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão V_s·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.

Variação relativa da resistência

ΔR/R = 0,1272/120 = 0,00106

Deformação

ε = 0,00106/2,12 = 0,0005 = 500 µε

Resposta

ε = 500 µε

3.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: N = 14

Resolução do ADC: um conversor de N bits divide sua faixa de fundo de escala V_FSR em 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Um passo é 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: a menor variação que o conversor consegue mostrar. Um ADC com truncamento dá o código ⌊V_in/LSB⌋; um ADC com arredondamento nunca fica a mais de ½ LSB do valor verdadeiro, seu erro de quantização. Cada bit a mais reduz o LSB à metade e acrescenta cerca de 6 dB à relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para uma senoide de fundo de escala. Para alcançar uma resolução r em uma faixa, escolha o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/r.

Passos necessários

1000/0,1 = 10000

Bits

log₂(10000) = 13,29

2¹³ = 8192 < 10000 ≤ 2¹⁴ = 16384

N = 14

Resposta

N = 14

4.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: e = 0,1603 %

UART: um enlace serial assíncrono envia cada byte como um quadro: um bit de início (baixo), os bits de dados, um bit de paridade opcional e um ou dois bits de parada (alto). A taxa de baud é o número de bits por segundo, então um bit dura T_b = 1/baud e um quadro de n bits dura n/baud. O formato comum 8N1 tem 10 bits por byte. O gerador de baud divide o clock: baud = f_clk/(16·D) com um número inteiro D, então a taxa de baud real difere um pouco da desejada; um erro abaixo de cerca de 2 % costuma ser aceitável.

Divisor

D = 4·10⁶/(16·19200) = 13,02 → 13

Taxa de baud real

4·10⁶/(16·13) = 19231 Bd

Erro

(19231 − 19200)/19200·100 = 0,1603 %

Resposta

e = 0,1603 %

Um erro abaixo de cerca de 2 % costuma ser aceitável.

5.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: V_in,max = 0,5714 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Ganho

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 47/2 = 24,5

Maior entrada antes do ceifamento

V_in,max = V_sat/|A_v| = 14/24,5 = 0,5714 V

Resposta

V_in,max = 0,5714 V

6.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: t = 1060 ms

Corrente de entrada e taxa da rampa

kΩ vezes µF dá milissegundos.

RC = 47 kΩ · 4,7 µF = 220,9 ms

taxa da rampa = −V_in/(RC) = −(−2,5)/220,9 = 0,01132 V/ms

Tempo até a saturação

|V_in|·t/(RC) = V_sat → t = V_sat·RC/|V_in| = 12·220,9/2,5 = 1060 ms

Resposta

t = 1060 ms

7.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 1,483 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 5 + 6 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 12·11/(12+11) = 5,739 Ω

R_eq = R₁ + 5,739 = 2 + 5,739 = 7,739 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/7,739 = 3,101 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 3,101·2 = 17,8 V

I_R2 = V_A/R₂ = 17,8/12 = 1,483 A

Resposta

I_R2 = 1,483 A

8.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 1,607 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 10 + 10 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 10 Ω

R₃ + 10 = 40 Ω

R₂ ∥ 40 = 9,231 Ω

R_eq = R₁ + 9,231 = 8 + 9,231 = 17,23 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/17,23 = 2,089 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 2,089·8 = 19,29 V

I_R2 = V_A/R₂ = 19,29/12 = 1,607 A

Resposta

I_R2 = 1,607 A

9.Thévenin e Norton

Resposta: I_L = 0,186 A

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão V_th em série com uma resistência R_th. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente I_N = V_th/R_th em paralelo com R_th.

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R₁ ∥ R₂ = 5·8/(5+8) = 3,077 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,077 + 15 = 18,08 Ω

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, não passa corrente por R₃, então não há queda nele e V_b = V_A. R₁ e R₂ formam um divisor de tensão.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·8/(5+8) = 6,154 V

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

A fonte de Thévenin e R_th em série se comportam exatamente como o circuito original em a–b, então a carga vê uma malha simples em série.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 6,154/(18,08 + 15) = 0,186 A

10.Thévenin e Norton

Resposta: I_L = 1,526 A

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R₁ ∥ R₂ = 3·12/(3+12) = 2,4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,4 + 5 = 7,4 Ω

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4,8 + 5·2,4 = 16,8 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 16,8 + 5·5 = 41,8 V

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

A fonte de Thévenin e R_th em série se comportam exatamente como o circuito original em a–b, então a carga vê uma malha simples em série.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 41,8/(7,4 + 20) = 1,526 A

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Medição e Instrumentação: pacote de revisão

1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Método

Aquisição de dados e amostragem

Método

Circuitos com amplificadores operacionais

Resistores em série e paralelo

Método

Thévenin e Norton

Método

2Exercícios

3Soluções

Tensão sobre o extensômetro

Potência

Resposta

Variação relativa da resistência

Deformação

Resposta

Passos necessários

Bits

Resposta

Divisor

Taxa de baud real

Erro

Resposta

Ganho

Maior entrada antes do ceifamento

Resposta

Corrente de entrada e taxa da rampa

Tempo até a saturação

Resposta

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Corrente da fonte

Corrente em R₂

Resposta

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Corrente da fonte

Corrente em R₂

Resposta

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto