Medição e Instrumentação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Tensões dos divisores
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Saídas
Vab = Va − Vb
Balanço
R1/R2 = R3/R4
Ponte de fio
R/Rx = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Fator do extensômetro
ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte
quarto Vs·GF·ε/4, meia Vs·GF·ε/2, completa Vs·GF·ε
Pequena variação, um braço
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tensão
σ = E·ε

Método

  1. Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
  2. Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
  3. Para uma ponte desequilibrada, encontre Va e Vb a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
  4. Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use Vs·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.

Aquisição de dados e amostragem

Critério de Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frequência de aliasing
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Tamanho do passo
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento)
±½ LSB
Código do ADC com truncamento
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits para uma resolução r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados
canais × fs × N bit/s
ADC multiplexado
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud
baud = fclk/(16·D)

Método

  1. Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
  2. Em questões de amostragem, compare cada frequência com fs/2; uma frequência mais alta aparece em fa = |f − k·fs|, com o múltiplo de fs mais próximo.
  3. Em questões de resolução, determine 1 LSB = VFSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
  4. Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

Circuitos com amplificadores operacionais

Amplificador inversor
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Amplificador não inversor
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Amplificador somador
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Amplificador operacional ideal
V+ = V−, Iin = 0

Resistores em série e paralelo

Resistências em série
Req = R1 + R2 + …
Resistências em paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dois em paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Lei de Ohm
V = I·R
Potência
P = V·I = I²R = V²/R

Método

  1. Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
  2. Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Redesenhe o circuito após cada passo.
  4. Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Thévenin e Norton

Tensão de Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistência de Thévenin
Rth: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton
IN = Vth/Rth
Corrente na carga
IL = Vth/(Rth + RL)
Máxima transferência de potência
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Método

  1. Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
  2. Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é Vth.
  3. Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é Rth.
  4. Recoloque a carga no circuito equivalente: Vth em série com Rth.
  5. Para o equivalente de Norton, converta: IN = Vth/Rth, com RN = Rth em paralelo.

2Exercícios

1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia
+−12 V330 Ω330 Ω + ΔR330 Ω330 Ωab+−285,7 mV

Uma ponte com quatro braços de 330 Ω é alimentada com 12 V. Quando o sensor R₂ varia, a saída marca Vab = 285,7 mV. Encontre a variação exata ΔR de R₂.

Vs = 12 VR = 330 ΩVab = 285,7 mV
ΔR = Ω
2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil
+−5 V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−Vo​ = ?

Uma ponte com braços de 350 Ω é excitada com 5 V e tem um extensômetro ativo (um quarto de ponte). O fator do extensômetro é 2 e a deformação é 800 µε. Encontre a saída da ponte Vo em mV.

Vs = 5 VGF = 2ε = 800 µε
Vo = mV
3.Aquisição de dados e amostragemMédia
Vin​N = ?200 mm2ᴺ − 10≤ 0,2 mm

Um sensor mede distância em uma faixa de 200 mm, e sua saída preenche toda a faixa de entrada de um ADC. A leitura deve resolver 0,2 mm. Encontre o menor número de bits N de que o ADC precisa.

faixa = 200 mmresolução = 0,2 mm
N =
4.Aquisição de dados e amostragemDifícil
126⋮6 ch∿01tc​ = 10 µstset​ = 5 µsfs​ = ?

Um multiplexador de 6 canais alimenta um único ADC. Cada conversão leva 10 µs e, após cada troca de canal, a entrada precisa de 5 µs para se estabilizar. Os canais são varridos em sequência, sem pausa. Encontre a taxa de amostragem fs de cada canal, em kHz.

n = 6tc = 10 µstset = 5 µs
fs = kHz
5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia
−+Vout​Rf​ = 10 kΩVin​R1​ = 2 kΩ

O amplificador operacional é ideal e alimentado com ±15 V; sua saída satura em ±13 V. O amplificador inversor é alimentado por uma onda senoidal. Encontre a maior amplitude de entrada Vin,max (valor de pico) para a qual a saída não é ceifada.

R1 = 2 kΩRf = 10 kΩVsat = ±13 V
Vin,max = V
6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil
−+Vout​Rf​ = 47 kΩV1​ = 0,9 VR1​ = 100 kΩV2​ = 1 VR2​ = 10 kΩ

O amplificador somador usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V. Encontre a tensão de saída Vout.

V1 = 0,9 VV2 = 1 VR1 = 100 kΩR2 = 10 kΩRf = 47 kΩ
Vout = V
7.Resistores em série e paraleloMédia
R1​ = 10 ΩIR1​R3​ = 20 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩAR4​3 ΩB

Encontre a corrente IR1 fornecida pela fonte, que passa por R1.

V1 = 12 VR1 = 10 ΩR2 = 8 ΩR3 = 20 ΩR4 = 3 Ω
IR1 = A
8.Resistores em série e paraleloDifícil
R1​ = 5 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​36 VR2​20 ΩIR2​AR4​4 ΩBR6​15 Ω

Encontre a corrente IR2 em R2.

V1 = 36 VR1 = 5 ΩR2 = 20 ΩR3 = 3 ΩR4 = 4 ΩR5 = 12 ΩR6 = 15 Ω
IR2 = A
9.Thévenin e NortonMédia
R1​ = 8 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩAab

Encontre a tensão de Thévenin Vth vista dos terminais a–b.

V1 = 9 VR1 = 8 ΩR2 = 3 ΩR3 = 10 Ω
Vth = V
10.Thévenin e NortonDifícil
R1​ = 10 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩAIs​2,5 ABab

Encontre a corrente de Norton IN: a corrente que flui de a para b se os terminais forem curto-circuitados.

V1 = 24 VIs = 2,5 AR1 = 10 ΩR2 = 15 ΩR3 = 8 Ω
IN = A

3Soluções

1.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: ΔR = 33 Ω

Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação Vs. O divisor da esquerda R1–R2 dá Va = Vs·R2/(R1 + R2) e o divisor da direita R3–R4 dá Vb = Vs·R4/(R3 + R4); a saída é Vab = Va − Vb. A ponte está equilibrada (Vab = 0, sem corrente no medidor) quando R1/R2 = R3/R4, isto é, R1·R4 = R2·R3. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

Tensão do nó

Va = 6 + 0,2857 = 6,286 V

Resolva o divisor

R₂ = 330·6,286/(12 − 6,286) = 363 Ω
ΔR = 363 − 330 = 33 Ω

Resposta

ΔR = 33 Ω
2.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: Vo = 2 mV

Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão Vs·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão Vs·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.

Variação relativa da resistência

ΔR/R = 2·800·10⁻⁶ = 0,0016

Saída da ponte

Vo ≈ Vs·GF·ε/4 = 5·0,0016/4 = 2 mV

Resposta

Vo = 2 mV
3.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: N = 10

Resolução do ADC: um conversor de N bits divide sua faixa de fundo de escala VFSR em 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Um passo é 1 LSB = VFSR/2ᴺ: a menor variação que o conversor consegue mostrar. Um ADC com truncamento dá o código ⌊Vin/LSB⌋; um ADC com arredondamento nunca fica a mais de ½ LSB do valor verdadeiro, seu erro de quantização. Cada bit a mais reduz o LSB à metade e acrescenta cerca de 6 dB à relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para uma senoide de fundo de escala. Para alcançar uma resolução r em uma faixa, escolha o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/r.

Passos necessários

200/0,2 = 1000

Bits

log₂(1000) = 9,966
29 = 512 < 1000 ≤ 210 = 1024
N = 10

Resposta

N = 10
4.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: fs = 11,11 kHz

Taxas de dados: cada canal fornece fs amostras por segundo de N bits, então a taxa bruta é canais × fs × N bit/s. Na memória, uma amostra ocupa bytes inteiros (uma amostra de 12 bits é armazenada em 2 bytes), então a memória para uma gravação é canais × fs × bytes por amostra × tempo. Um ADC multiplexado converte os canais um após o outro: cada conversão (com o tempo de estabilização) leva t, então uma rodada de n canais leva n·t e cada canal é amostrado a 1/(n·t).

Tempo por canal

10 + 5 = 15 µs

Tempo por varredura

6·15 = 90 µs

Taxa de amostragem por canal

fs = 1/90 µs = 11,11 kHz

Resposta

fs = 11,11 kHz
5.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: Vin,max = 2,6 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Ganho

|Av| = Rf/R1 = 10/2 = 5

Maior entrada antes do ceifamento

Vin,max = Vsat/|Av| = 13/5 = 2,6 V

Resposta

Vin,max = 2,6 V
6.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: Vout = −5,123 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Correntes de entrada

V₋ = 0, então cada resistor de entrada tem toda a sua tensão de entrada sobre ele.

I1 = V1/R1 = 0,9/100 = 0,009 mA
I2 = V2/R2 = 1/10 = 0,1 mA
If = I1 + I2 = 0,109 mA

Tensão de saída

Vout = −Rf·If = −47·0,109 = −5,123 V

Resposta

Vout = −5,123 V
7.Resistores em série e paralelo

Resposta: IR1 = 0,753 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 10 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩAR4​3 ΩB

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R3 + R4 = 20 + 3 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 8·23/(8+23) = 5,935 Ω
Req = R1 + 5,935 = 10 + 5,935 = 15,94 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

IR1 = V1/Req = 12/15,94 = 0,753 A

Resposta

IR1 = 0,753 A
8.Resistores em série e paralelo

Resposta: IR2 = 0,8906 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 5 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​36 VR2​20 ΩAR4​4 ΩBR6​15 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R5 + R6 = 12 + 15 = 27 Ω
R4 ∥ 27 = 3,484 Ω
R3 + 3,484 = 6,484 Ω
R2 ∥ 6,484 = 4,896 Ω
Req = R1 + 4,896 = 5 + 4,896 = 9,896 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

IR1 = V1/Req = 36/9,896 = 3,638 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 36 − 3,638·5 = 17,81 V
IR2 = VA/R2 = 17,81/20 = 0,8906 A

Resposta

IR2 = 0,8906 A
9.Thévenin e Norton

Resposta: Vth = 2,455 V

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.

R1​ = 8 ΩR3​ = 10 ΩCURTOR2​3 ΩAabRth​

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R1 ∥ R2 = 8·3/(8+3) = 2,182 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,182 + 10 = 12,18 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩAab+−Vth​

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, não passa corrente por R₃, então não há queda nele e V_b = V_A. R₁ e R₂ formam um divisor de tensão.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·3/(8+3) = 2,455 V
10.Thévenin e Norton

Resposta: IN = 3,529 A

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.

R1​ = 10 ΩR3​ = 8 ΩCURTOR2​15 ΩAABERTOBabRth​

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R1 ∥ R2 = 10·15/(10+15) = 6 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6 + 8 = 14 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩAIs​2,5 ABab+−Vth​

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 14,4 + 2,5·6 = 29,4 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 29,4 + 2,5·8 = 49,4 V
IN​3,529 ARth​14 Ωab

Equivalente de Norton

Uma fonte de Norton é o mesmo circuito visto como uma fonte de corrente em paralelo com R_th. Sua corrente é a corrente de curto-circuito em a–b.

IN = Vth/Rth = 49,4/14 = 3,529 A

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