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1Fórmulas e métodos
Ponte de Wheatstone e extensômetros
Tensões dos divisores
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Saídas
Vab = Va − Vb
Balanço
R1/R2 = R3/R4
Ponte de fio
R/Rx = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Fator do extensômetro
ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte
quarto Vs·GF·ε/4, meia Vs·GF·ε/2, completa Vs·GF·ε
Pequena variação, um braço
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tensão
σ = E·ε
Método
Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
Para uma ponte desequilibrada, encontre Va e Vb a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use Vs·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.
Aquisição de dados e amostragem
Critério de Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frequência de aliasing
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Tamanho do passo
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento)
±½ LSB
Código do ADC com truncamento
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits para uma resolução r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados
canais × fs × N bit/s
ADC multiplexado
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud
baud = fclk/(16·D)
Método
Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
Em questões de amostragem, compare cada frequência com fs/2; uma frequência mais alta aparece em fa = |f − k·fs|, com o múltiplo de fs mais próximo.
Em questões de resolução, determine 1 LSB = VFSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.
Circuitos com amplificadores operacionais
Amplificador inversor
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Amplificador não inversor
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Amplificador somador
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Amplificador operacional ideal
V+ = V−, Iin = 0
Resistores em série e paralelo
Resistências em série
Req = R1 + R2 + …
Resistências em paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dois em paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Lei de Ohm
V = I·R
Potência
P = V·I = I²R = V²/R
Método
Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.
Thévenin e Norton
Tensão de Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistência de Thévenin
Rth: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton
IN = Vth/Rth
Corrente na carga
IL = Vth/(Rth + RL)
Máxima transferência de potência
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Método
Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é Vth.
Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é Rth.
Recoloque a carga no circuito equivalente: Vth em série com Rth.
Para o equivalente de Norton, converta: IN = Vth/Rth, com RN = Rth em paralelo.
2Exercícios
1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia
Encontre a resistência de Thévenin Rth da ponte mostrada, vista dos terminais de saída a e b.
Vs = 3 VR1 = 40 ΩR2 = 1000 ΩR3 = 300 ΩR4 = 300 Ω
Rth = Ω
2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil
Uma ponte com braços de 1000 Ω é excitada com 10 V e tem quatro extensômetros ativos, dois sob tração e dois sob compressão (ponte completa). O fator do extensômetro é 2 e a deformação é 1500 µε. Encontre a saída da ponte Vo em mV.
Vs = 10 VGF = 2ε = 1500 µε
Vo = mV
3.Aquisição de dados e amostragemMédia
Um gravador amostra 2 canais a 5 kHz cada, com um ADC de 24 bits. Cada amostra é armazenada em bytes inteiros. Encontre a memória M necessária para uma gravação de 2 min, em MB (1 MB = 10⁶ bytes).
n = 2fs = 5 kHzN = 24t = 2 min
M = MB
4.Aquisição de dados e amostragemDifícil
Uma onda quadrada de 22,5 kHz é amostrada a 50 kHz sem filtro antialiasing. Uma onda quadrada contém os harmônicos ímpares 3f₁, 5f₁, 7f₁, … Em que frequência fa o harmônico 7f₁ aparece nos dados amostrados? Dê em kHz.
f₁ = 22,5 kHzfs = 50 kHzharmônico: 7f₁
fa = kHz
5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia
Escolha o resistor de realimentação Rf que dá a este amplificador não inversor um ganho de tensão de 3.
R1 = 4,7 kΩAv = 3
Rf = kΩ
6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil
O integrador usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V; sua saída satura em ±13 V. O capacitor está descarregado quando uma entrada constante Vin = 2,5 V é aplicada em t = 0. Quanto tempo após t = 0 a saída atinge a saturação? Encontre t.
Vin = 2,5 VR = 22 kΩC = 4,7 µFVsat = ±13 V
t = ms
7.Resistores em série e paraleloMédia
Encontre a corrente IR2 em R2.
V1 = 18 VR1 = 12 ΩR2 = 8 ΩR3 = 8 ΩR4 = 10 Ω
IR2 = A
8.Resistores em série e paraleloDifícil
Encontre a corrente IR1 fornecida pela fonte, que passa por R1.
Encontre a resistência de Thévenin Rth vista dos terminais a–b.
V1 = 12 VR1 = 6 ΩR2 = 8 ΩR3 = 5 Ω
Rth = Ω
10.Thévenin e NortonDifícil
Uma carga RL = 6 Ω é ligada entre a–b. Use um equivalente de Thévenin para encontrar a potência PL entregue à carga.
V1 = 5 VIs = 2 AR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 3 ΩRL = 6 Ω
PL = W
3Soluções
1.Ponte de Wheatstone e extensômetros
Resposta: Rth = 188,5 Ω
Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação Vs. O divisor da esquerda R1–R2 dá Va = Vs·R2/(R1 + R2) e o divisor da direita R3–R4 dá Vb = Vs·R4/(R3 + R4); a saída é Vab = Va − Vb. A ponte está equilibrada (Vab = 0, sem corrente no medidor) quando R1/R2 = R3/R4, isto é, R1·R4 = R2·R3. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com Rth = R1∥R2 + R3∥R4.
Alimentação em curto
R₁∥R₂ = 40·1000/1040 = 38,46 Ω
R₃∥R₄ = 300·300/600 = 150 Ω
Resistência de Thévenin
Rth = 188,5 Ω
Resposta
Rth = 188,5 Ω
2.Ponte de Wheatstone e extensômetros
Resposta: Vo = 30 mV
Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão Vs·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão Vs·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.
Variação relativa da resistência
ΔR/R = 2·1500·10⁻⁶ = 0,003
Saída da ponte
Vo = Vs·GF·ε = 10·0,003 = 30 mV
Resposta
Vo = 30 mV
3.Aquisição de dados e amostragem
Resposta: M = 3,6 MB
Taxas de dados: cada canal fornece fs amostras por segundo de N bits, então a taxa bruta é canais × fs × N bit/s. Na memória, uma amostra ocupa bytes inteiros (uma amostra de 12 bits é armazenada em 2 bytes), então a memória para uma gravação é canais × fs × bytes por amostra × tempo. Um ADC multiplexado converte os canais um após o outro: cada conversão (com o tempo de estabilização) leva t, então uma rodada de n canais leva n·t e cada canal é amostrado a 1/(n·t).
Bytes por amostra
⌈24/8⌉ = 3 B
Taxa de bytes
2·5000·3 = 30000 B/s
Memória
M = 30000·120 = 3,6 × 10⁶ B = 3,6 MB
Resposta
M = 3,6 MB
4.Aquisição de dados e amostragem
Resposta: fa = 7,5 kHz
Amostragem: um ADC mede o sinal fs vezes por segundo. Pelo teorema de Nyquist–Shannon, uma frequência f só é capturada corretamente enquanto f < fs/2, a frequência de Nyquist (de dobramento), de modo que a taxa de amostragem deve superar o dobro da maior frequência do sinal. Uma frequência mais alta não se perde: ela aparece como um alias em fa = |f − k·fs|, com o número inteiro k que leva o resultado para entre 0 e fs/2. As amostras não distinguem as duas, então um filtro analógico antialiasing deve remover tudo acima de fs/2 antes do ADC.
Frequência do harmônico
7f₁ = 7·22,5 kHz = 157,5 kHz
Múltiplo mais próximo da taxa de amostragem
m = round(3,15) = 3
Frequência de aliasing
fa = |157,5 − 3·50| = 7,5 kHz
Resposta
fa = 7,5 kHz
O alias cai dentro da banda do sinal, onde nenhum filtro digital consegue removê-lo. Só um filtro analógico antes do ADC ajuda.
5.Circuitos com amplificadores operacionais
Resposta: Rf = 9,4 kΩ
Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.
Ganho de um amplificador não inversor
V₋ = V₊ = Vin, e a corrente em R₁ também passa por Rf, então Vout = Vin·(1 + Rf/R₁).
Av = 1 + Rf/R1
Rf = (3 − 1)·4,7 = 9,4 kΩ
Resposta
Rf = 9,4 kΩ
6.Circuitos com amplificadores operacionais
Resposta: t = 537,7 ms
Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.
Corrente de entrada e taxa da rampa
kΩ vezes µF dá milissegundos.
RC = 22 kΩ · 4,7 µF = 103,4 ms
taxa da rampa = −Vin/(RC) = −2,5/103,4 = −0,02418 V/ms
Tempo até a saturação
|Vin|·t/(RC) = Vsat → t = Vsat·RC/|Vin| = 13·103,4/2,5 = 537,7 ms
Resposta
t = 537,7 ms
7.Resistores em série e paralelo
Resposta: IR2 = 0,7105 A
Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.
Combine os resistores a partir da extremidade mais distante
Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.
R3 + R4 = 8 + 10 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 8·18/(8+18) = 5,538 Ω
Req = R1 + 5,538 = 12 + 5,538 = 17,54 Ω
Corrente da fonte
A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.
IR1 = V1/Req = 18/17,54 = 1,026 A
Corrente em R₂
Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 1,026·12 = 5,684 V
IR2 = VA/R2 = 5,684/8 = 0,7105 A
Resposta
IR2 = 0,7105 A
8.Resistores em série e paralelo
Resposta: IR1 = 2,815 A
Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.
Combine os resistores a partir da extremidade mais distante
Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.
R5 + R6 = 6 + 8 = 14 Ω
R4 ∥ 14 = 3,684 Ω
R3 + 3,684 = 9,684 Ω
R2 ∥ 9,684 = 6,525 Ω
Req = R1 + 6,525 = 2 + 6,525 = 8,525 Ω
Corrente da fonte
A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.
IR1 = V1/Req = 24/8,525 = 2,815 A
Resposta
IR1 = 2,815 A
9.Thévenin e Norton
Resposta: Rth = 8,429 Ω
Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.
Encontre Rth com todas as fontes desligadas
Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.
R1 ∥ R2 = 6·8/(6+8) = 3,429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,429 + 5 = 8,429 Ω
10.Thévenin e Norton
Resposta: PL = 8,702 W
Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.
Encontre Rth com todas as fontes desligadas
Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.
R1 ∥ R2 = 15·6/(15+6) = 4,286 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4,286 + 3 = 7,286 Ω
Encontre Vth, a tensão de circuito aberto
Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1,429 + 2·4,286 = 10 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 10 + 2·3 = 16 V
Ligue a carga ao equivalente de Thévenin
A fonte de Thévenin e R_th em série se comportam exatamente como o circuito original em a–b, então a carga vê uma malha simples em série.