Medição e Instrumentação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Tensões dos divisores
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Saídas
Vab = Va − Vb
Balanço
R1/R2 = R3/R4
Ponte de fio
R/Rx = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Fator do extensômetro
ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte
quarto Vs·GF·ε/4, meia Vs·GF·ε/2, completa Vs·GF·ε
Pequena variação, um braço
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tensão
σ = E·ε

Método

  1. Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
  2. Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
  3. Para uma ponte desequilibrada, encontre Va e Vb a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
  4. Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use Vs·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.

Aquisição de dados e amostragem

Critério de Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frequência de aliasing
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Tamanho do passo
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento)
±½ LSB
Código do ADC com truncamento
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits para uma resolução r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados
canais × fs × N bit/s
ADC multiplexado
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud
baud = fclk/(16·D)

Método

  1. Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
  2. Em questões de amostragem, compare cada frequência com fs/2; uma frequência mais alta aparece em fa = |f − k·fs|, com o múltiplo de fs mais próximo.
  3. Em questões de resolução, determine 1 LSB = VFSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
  4. Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

Circuitos com amplificadores operacionais

Amplificador inversor
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Amplificador não inversor
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Amplificador somador
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Amplificador operacional ideal
V+ = V−, Iin = 0

Resistores em série e paralelo

Resistências em série
Req = R1 + R2 + …
Resistências em paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dois em paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Lei de Ohm
V = I·R
Potência
P = V·I = I²R = V²/R

Método

  1. Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
  2. Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Redesenhe o circuito após cada passo.
  4. Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Thévenin e Norton

Tensão de Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistência de Thévenin
Rth: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton
IN = Vth/Rth
Corrente na carga
IL = Vth/(Rth + RL)
Máxima transferência de potência
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Método

  1. Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
  2. Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é Vth.
  3. Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é Rth.
  4. Recoloque a carga no circuito equivalente: Vth em série com Rth.
  5. Para o equivalente de Norton, converta: IN = Vth/Rth, com RN = Rth em paralelo.

2Exercícios

1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia
+−2 VR1​ = 50 ΩR2​ = 1000 ΩR3​ = 80 ΩR4​ = 10 ΩabGRg​ = 500 Ω

Um galvanômetro com resistência de 500 Ω é ligado entre a e b da ponte mostrada (Vs = 2 V). Encontre a corrente do galvanômetro Ig de a para b, em µA.

Vs = 2 VR1 = 50 ΩR2 = 1000 ΩR3 = 80 ΩR4 = 10 ΩRg = 500 Ω
Ig = µA
2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil
+−V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−

Um extensômetro de 350 Ω com fator 2,12 está colado a uma barra de aço. Sob carga sua resistência aumenta 0,5565 Ω. Encontre a deformação ε em microdeformação (µε).

R = 350 ΩGF = 2,12ΔR = 0,5565 Ω
ε = µε
3.Aquisição de dados e amostragemMédia
tTs​ = 1/fs​f = 600 Hzfs​ = 1 kHz

Uma onda senoidal de 600 Hz é amostrada a 1 kHz sem filtro antialiasing. Em que frequência fa ela aparece nas amostras? Dê em Hz.

f = 600 Hzfs = 1 kHz
fa = Hz
4.Aquisição de dados e amostragemDifícil
f0fs​/2fs​600 Hz7f₁?

Uma onda quadrada de 600 Hz é amostrada a 5 kHz sem filtro antialiasing. Uma onda quadrada contém os harmônicos ímpares 3f₁, 5f₁, 7f₁, … Em que frequência fa o harmônico 7f₁ aparece nos dados amostrados? Dê em Hz.

f₁ = 600 Hzfs = 5 kHzharmônico: 7f₁
fa = Hz
5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia
−+Vout​Rf​ = 100 kΩR1​ = 22 kΩVin​

O amplificador operacional é ideal e alimentado com ±15 V; sua saída satura em ±13 V. O amplificador não inversor é alimentado por uma onda senoidal. Encontre a maior amplitude de entrada Vin,max (valor de pico) para a qual a saída não é ceifada.

R1 = 22 kΩRf = 100 kΩVsat = ±13 V
Vin,max = V
6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil
−+Vout​Rf​ = 1 kΩV1​ = 1,4 VR1​ = 10 kΩV2​ = 1,8 VR2​ = 4,7 kΩIf​

O amplificador somador usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V. Encontre a corrente If no resistor de realimentação, fluindo em direção à saída.

V1 = 1,4 VV2 = 1,8 VR1 = 10 kΩR2 = 4,7 kΩRf = 1 kΩ
If = mA
7.Resistores em série e paraleloMédia
R1​ = 12 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​12 VR2​15 ΩAR4​4 ΩB

Encontre a resistência equivalente Req vista pela fonte V1.

V1 = 12 VR1 = 12 ΩR2 = 15 ΩR3 = 20 ΩR4 = 4 Ω
Req = Ω
8.Resistores em série e paraleloDifícil
R1​ = 6 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​12 VR2​4 ΩAR4​3 ΩBR6​12 Ω

Encontre a resistência equivalente Req vista pela fonte V1.

V1 = 12 VR1 = 6 ΩR2 = 4 ΩR3 = 12 ΩR4 = 3 ΩR5 = 20 ΩR6 = 12 Ω
Req = Ω
9.Thévenin e NortonMédia
R1​ = 15 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩAab

Encontre a tensão de Thévenin Vth vista dos terminais a–b.

V1 = 12 VR1 = 15 ΩR2 = 5 ΩR3 = 15 Ω
Vth = V
10.Thévenin e NortonDifícil
R1​ = 10 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​18 VR2​6 ΩAIs​1,5 ABab

Encontre a corrente de Norton IN: a corrente que flui de a para b se os terminais forem curto-circuitados.

V1 = 18 VIs = 1,5 AR1 = 10 ΩR2 = 6 ΩR3 = 25 Ω
IN = A

3Soluções

1.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: Ig = 3023 µA

Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação Vs. O divisor da esquerda R1–R2 dá Va = Vs·R2/(R1 + R2) e o divisor da direita R3–R4 dá Vb = Vs·R4/(R3 + R4); a saída é Vab = Va − Vb. A ponte está equilibrada (Vab = 0, sem corrente no medidor) quando R1/R2 = R3/R4, isto é, R1·R4 = R2·R3. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

Tensão de Thévenin

Vth = 2·(1000/1050 − 10/90) = 1,683 V

Resistência de Thévenin

Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 56,51 Ω

Corrente do galvanômetro

Ig = 1,683/(56,51 + 500) = 3023 µA

Resposta

Ig = 3023 µA
2.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: ε = 750 µε

Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão Vs·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão Vs·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.

Variação relativa da resistência

ΔR/R = 0,5565/350 = 0,00159

Deformação

ε = 0,00159/2,12 = 0,00075 = 750 µε

Resposta

ε = 750 µε
3.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: fa = 400 Hz

Amostragem: um ADC mede o sinal fs vezes por segundo. Pelo teorema de Nyquist–Shannon, uma frequência f só é capturada corretamente enquanto f < fs/2, a frequência de Nyquist (de dobramento), de modo que a taxa de amostragem deve superar o dobro da maior frequência do sinal. Uma frequência mais alta não se perde: ela aparece como um alias em fa = |f − k·fs|, com o número inteiro k que leva o resultado para entre 0 e fs/2. As amostras não distinguem as duas, então um filtro analógico antialiasing deve remover tudo acima de fs/2 antes do ADC.

Frequência de Nyquist

fs/2 = 500 Hz < f = 600 Hz

Múltiplo mais próximo da taxa de amostragem

k = round(600/1000) = 1

Frequência de aliasing

fa = |600 − 1·1000| = 400 Hz

Resposta

fa = 400 Hz

A curva tracejada na figura é o alias: ela passa exatamente pelas mesmas amostras.

4.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: fa = 800 Hz

Amostragem: um ADC mede o sinal fs vezes por segundo. Pelo teorema de Nyquist–Shannon, uma frequência f só é capturada corretamente enquanto f < fs/2, a frequência de Nyquist (de dobramento), de modo que a taxa de amostragem deve superar o dobro da maior frequência do sinal. Uma frequência mais alta não se perde: ela aparece como um alias em fa = |f − k·fs|, com o número inteiro k que leva o resultado para entre 0 e fs/2. As amostras não distinguem as duas, então um filtro analógico antialiasing deve remover tudo acima de fs/2 antes do ADC.

Frequência do harmônico

7f₁ = 7·600 Hz = 4,2 kHz

Múltiplo mais próximo da taxa de amostragem

m = round(0,84) = 1

Frequência de aliasing

fa = |4200 − 1·5000| = 800 Hz

Resposta

fa = 800 Hz

O alias cai dentro da banda do sinal, onde nenhum filtro digital consegue removê-lo. Só um filtro analógico antes do ADC ajuda.

5.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: Vin,max = 2,344 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Ganho

Av = 1 + Rf/R1 = 1 + 100/22 = 5,545

Maior entrada antes do ceifamento

Vin,max = Vsat/|Av| = 13/5,545 = 2,344 V

Resposta

Vin,max = 2,344 V
6.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: If = 0,523 mA

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Correntes de entrada

V₋ = 0, então cada resistor de entrada tem toda a sua tensão de entrada sobre ele.

I1 = V1/R1 = 1,4/10 = 0,14 mA
I2 = V2/R2 = 1,8/4,7 = 0,383 mA
If = I1 + I2 = 0,523 mA

Resposta

If = 0,523 mA
7.Resistores em série e paralelo

Resposta: Req = 21,23 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 12 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​12 VR2​15 ΩAR4​4 ΩB

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R3 + R4 = 20 + 4 = 24 Ω
R2 ∥ 24 = 15·24/(15+24) = 9,231 Ω
Req = R1 + 9,231 = 12 + 9,231 = 21,23 Ω

Resposta

Req = 21,23 Ω
8.Resistores em série e paralelo

Resposta: Req = 9,146 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 6 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​12 VR2​4 ΩAR4​3 ΩBR6​12 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R5 + R6 = 20 + 12 = 32 Ω
R4 ∥ 32 = 2,743 Ω
R3 + 2,743 = 14,74 Ω
R2 ∥ 14,74 = 3,146 Ω
Req = R1 + 3,146 = 6 + 3,146 = 9,146 Ω

Resposta

Req = 9,146 Ω
9.Thévenin e Norton

Resposta: Vth = 3 V

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.

R1​ = 15 ΩR3​ = 15 ΩCURTOR2​5 ΩAabRth​

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R1 ∥ R2 = 15·5/(15+5) = 3,75 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,75 + 15 = 18,75 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩAab+−Vth​

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, não passa corrente por R₃, então não há queda nele e V_b = V_A. R₁ e R₂ formam um divisor de tensão.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·5/(15+5) = 3 V
10.Thévenin e Norton

Resposta: IN = 1,735 A

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.

R1​ = 10 ΩR3​ = 25 ΩCURTOR2​6 ΩAABERTOBabRth​

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R1 ∥ R2 = 10·6/(10+6) = 3,75 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,75 + 25 = 28,75 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​18 VR2​6 ΩAIs​1,5 ABab+−Vth​

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 6,75 + 1,5·3,75 = 12,38 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 12,38 + 1,5·25 = 49,88 V
IN​1,735 ARth​28,75 Ωab

Equivalente de Norton

Uma fonte de Norton é o mesmo circuito visto como uma fonte de corrente em paralelo com R_th. Sua corrente é a corrente de curto-circuito em a–b.

IN = Vth/Rth = 49,88/28,75 = 1,735 A

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