Medição e Instrumentação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Tensões dos divisores: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Saídas: V_ab = V_a − V_b
Balanço: R₁/R₂ = R₃/R₄
Ponte de fio: R/R_x = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Fator do extensômetro: ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte: quarto V_s·GF·ε/4, meia V_s·GF·ε/2, completa V_s·GF·ε
Pequena variação, um braço: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Tensão: σ = E·ε

Método

Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
Para uma ponte desequilibrada, encontre V_a e V_b a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use V_s·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.

Aquisição de dados e amostragem

Critério de Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Frequência de aliasing: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Tamanho do passo: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento): ±½ LSB
Código do ADC com truncamento: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits para uma resolução r: 2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados: canais × f_s × N bit/s
ADC multiplexado: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud: baud = f_clk/(16·D)

Método

Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
Em questões de amostragem, compare cada frequência com f_s/2; uma frequência mais alta aparece em f_a = |f − k·f_s|, com o múltiplo de f_s mais próximo.
Em questões de resolução, determine 1 LSB = V_FSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

Circuitos com amplificadores operacionais

Amplificador inversor: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Amplificador não inversor: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Amplificador somador: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Amplificador operacional ideal: V₊ = V₋, I_in = 0

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Thévenin e Norton

Tensão de Thévenin: V_th = V_{open circuit}
Resistência de Thévenin: R_th: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton: I_N = V_th/R_th
Corrente na carga: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Máxima transferência de potência: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Método

Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é V_th.
Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é R_th.
Recoloque a carga no circuito equivalente: V_th em série com R_th.
Para o equivalente de Norton, converta: I_N = V_th/R_th, com R_N = R_th em paralelo.

2Exercícios

1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia

Encontre a resistência de Thévenin R_th da ponte mostrada, vista dos terminais de saída a e b.

V_s = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 50 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 300 Ω

R_th = Ω

2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil

Um extensômetro (GF = 2,05) em um elemento com E = 210 GPa forma um quarto de ponte excitado com 3 V. A saída marca 1,537 mV. Encontre a tensão mecânica axial σ em MPa.

V_s = 3 VGF = 2,05V_o = 1,537 mVE = 210 GPa

σ = MPa

3.Aquisição de dados e amostragemMédia

Um ADC de 12 bits com faixa de entrada de 0 a 2,5 V trunca: seu código de saída é ⌊V_in/LSB⌋ com 1 LSB = V_FSR/2ᴺ. Encontre o código de saída decimal D para uma entrada de 1,031 V.

N = 12V_FSR = 2,5 VV_in = 1,031 V

D =

4.Aquisição de dados e amostragemDifícil

Um microcontrolador com clock de 2 MHz define sua taxa de baud da UART como f_clk/(16·D), com D um número inteiro arredondado para o valor mais próximo. O alvo é 57600 baud. Encontre o erro percentual da taxa de baud real (positivo quando ela é rápida demais).

f_clk = 2 MHzalvo = 57600 Bd

e = %

5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia

O amplificador operacional é ideal e alimentado com ±15 V. Encontre a tensão de saída V_out.

V_in = 1,5 VR₁ = 4,7 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil

O integrador usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V; sua saída satura em ±14 V. O capacitor está descarregado quando uma entrada constante V_in = 2,7 V é aplicada em t = 0. Encontre a tensão de saída V_out em t = 2 ms.

V_in = 2,7 VR = 10 kΩC = 0,1 µFV_sat = ±14 Vt = 2 ms

V_out = V

7.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

8.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 5 Ω

I_R1 = A

9.Thévenin e NortonMédia

Encontre a tensão de Thévenin V_th vista dos terminais a–b.

V₁ = 6 VR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 2 Ω

V_th = V

10.Thévenin e NortonDifícil

Uma carga R_L = 6 Ω é ligada entre a–b. Substitua o resto do circuito pelo seu equivalente de Thévenin e encontre a corrente na carga I_L.

V₁ = 24 VI_s = 5 AR₁ = 4 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 6 Ω

I_L = A

3Soluções

1.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: R_th = 33,04 Ω

Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação V_s. O divisor da esquerda R₁–R₂ dá V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) e o divisor da direita R₃–R₄ dá V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); a saída é V_ab = V_a − V_b. A ponte está equilibrada (V_ab = 0, sem corrente no medidor) quando R₁/R₂ = R₃/R₄, isto é, R₁·R₄ = R₂·R₃. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Alimentação em curto

R₁∥R₂ = 20·50/70 = 14,29 Ω

R₃∥R₄ = 20·300/320 = 18,75 Ω

Resistência de Thévenin

R_th = 33,04 Ω

Resposta

R_th = 33,04 Ω

2.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: σ = 209,9 MPa

Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão V_s·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão V_s·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.

Deformação

ε = 4·0,001537/(3·2,05) = 0,0009997

Tensão

σ = 210·10³ MPa·0,0009997 = 209,9 MPa

Resposta

σ = 209,9 MPa

3.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: D = 1689

Resolução do ADC: um conversor de N bits divide sua faixa de fundo de escala V_FSR em 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Um passo é 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: a menor variação que o conversor consegue mostrar. Um ADC com truncamento dá o código ⌊V_in/LSB⌋; um ADC com arredondamento nunca fica a mais de ½ LSB do valor verdadeiro, seu erro de quantização. Cada bit a mais reduz o LSB à metade e acrescenta cerca de 6 dB à relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para uma senoide de fundo de escala. Para alcançar uma resolução r em uma faixa, escolha o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/r.

Tamanho do passo

1 LSB = 2,5/2¹² = 0,6104 mV

Código

V_in/LSB = 1031/0,6104 = 1689

código = ⌊1689⌋ = 1689

Resposta

D = 1689

Em binário, isso é 011010011001.

4.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: e = 8,507 %

UART: um enlace serial assíncrono envia cada byte como um quadro: um bit de início (baixo), os bits de dados, um bit de paridade opcional e um ou dois bits de parada (alto). A taxa de baud é o número de bits por segundo, então um bit dura T_b = 1/baud e um quadro de n bits dura n/baud. O formato comum 8N1 tem 10 bits por byte. O gerador de baud divide o clock: baud = f_clk/(16·D) com um número inteiro D, então a taxa de baud real difere um pouco da desejada; um erro abaixo de cerca de 2 % costuma ser aceitável.

Divisor

D = 2·10⁶/(16·57600) = 2,17 → 2

Taxa de baud real

2·10⁶/(16·2) = 62500 Bd

Erro

(62500 − 57600)/57600·100 = 8,507 %

Resposta

e = 8,507 %

Um erro acima de cerca de 2 % torna o enlace pouco confiável: escolha outro clock ou outra taxa de baud.

5.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: V_out = 8,521 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

A entrada inversora segue a entrada

V₋ = V₊ = 1,5 V

I = V₋/R₁ = 1,5/4,7 = 0,3191 mA

Tensão de saída

A corrente em R₁ também passa por R_f.

V_out = V₋ + I·R_f = 1,5 + 0,3191·22 = 8,521 V

Resposta

V_out = 8,521 V

6.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: V_out = −5,4 V

Corrente de entrada e taxa da rampa

kΩ vezes µF dá milissegundos.

RC = 10 kΩ · 0,1 µF = 1 ms

taxa da rampa = −V_in/(RC) = −2,7/1 = −2,7 V/ms

Saída no instante dado

O valor ideal fica dentro de ±V_sat, então o integrador ainda não saturou.

V_out = −V_in·t/(RC) = −2,7·2/1 = −5,4 V

Resposta

V_out = −5,4 V

7.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,6667 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 10 + 5 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 15·15/(15+15) = 7,5 Ω

R_eq = R₁ + 7,5 = 6 + 7,5 = 13,5 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/13,5 = 1,333 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1,333·6 = 10 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10/15 = 0,6667 A

Resposta

I_R2 = 0,6667 A

8.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,34 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 10 + 5 = 15 Ω

R₄ ∥ 15 = 3,75 Ω

R₃ + 3,75 = 11,75 Ω

R₂ ∥ 11,75 = 2,39 Ω

R_eq = R₁ + 2,39 = 20 + 2,39 = 22,39 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/22,39 = 1,34 A

Resposta

I_R1 = 1,34 A

9.Thévenin e Norton

Resposta: V_th = 1,714 V

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão V_th em série com uma resistência R_th. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente I_N = V_th/R_th em paralelo com R_th.

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R₁ ∥ R₂ = 15·6/(15+6) = 4,286 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,286 + 2 = 6,286 Ω

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, não passa corrente por R₃, então não há queda nele e V_b = V_A. R₁ e R₂ formam um divisor de tensão.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·6/(15+6) = 1,714 V

10.Thévenin e Norton

Resposta: I_L = 3,687 A

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R₁ ∥ R₂ = 4·8/(4+8) = 2,667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,667 + 2 = 4,667 Ω

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 16 + 5·2,667 = 29,33 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 29,33 + 5·2 = 39,33 V

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

A fonte de Thévenin e R_th em série se comportam exatamente como o circuito original em a–b, então a carga vê uma malha simples em série.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 39,33/(4,667 + 6) = 3,687 A

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Medição e Instrumentação: pacote de revisão

1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Método

Aquisição de dados e amostragem

Método

Circuitos com amplificadores operacionais

Resistores em série e paralelo

Método

Thévenin e Norton

Método

2Exercícios

3Soluções

Alimentação em curto

Resistência de Thévenin

Resposta

Deformação

Tensão

Resposta

Tamanho do passo

Código

Resposta

Divisor

Taxa de baud real

Erro

Resposta

A entrada inversora segue a entrada

Tensão de saída

Resposta

Corrente de entrada e taxa da rampa

Saída no instante dado

Resposta

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Corrente da fonte

Corrente em R₂

Resposta

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Corrente da fonte

Resposta

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto