Medição e Instrumentação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Tensões dos divisores
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Saídas
Vab = Va − Vb
Balanço
R1/R2 = R3/R4
Ponte de fio
R/Rx = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Fator do extensômetro
ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte
quarto Vs·GF·ε/4, meia Vs·GF·ε/2, completa Vs·GF·ε
Pequena variação, um braço
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tensão
σ = E·ε

Método

  1. Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
  2. Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
  3. Para uma ponte desequilibrada, encontre Va e Vb a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
  4. Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use Vs·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.

Aquisição de dados e amostragem

Critério de Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frequência de aliasing
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Tamanho do passo
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento)
±½ LSB
Código do ADC com truncamento
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits para uma resolução r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados
canais × fs × N bit/s
ADC multiplexado
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud
baud = fclk/(16·D)

Método

  1. Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
  2. Em questões de amostragem, compare cada frequência com fs/2; uma frequência mais alta aparece em fa = |f − k·fs|, com o múltiplo de fs mais próximo.
  3. Em questões de resolução, determine 1 LSB = VFSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
  4. Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

Circuitos com amplificadores operacionais

Amplificador inversor
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Amplificador não inversor
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Amplificador somador
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Amplificador operacional ideal
V+ = V−, Iin = 0

Resistores em série e paralelo

Resistências em série
Req = R1 + R2 + …
Resistências em paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dois em paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Lei de Ohm
V = I·R
Potência
P = V·I = I²R = V²/R

Método

  1. Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
  2. Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Redesenhe o circuito após cada passo.
  4. Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Thévenin e Norton

Tensão de Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistência de Thévenin
Rth: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton
IN = Vth/Rth
Corrente na carga
IL = Vth/(Rth + RL)
Máxima transferência de potência
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Método

  1. Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
  2. Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é Vth.
  3. Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é Rth.
  4. Recoloque a carga no circuito equivalente: Vth em série com Rth.
  5. Para o equivalente de Norton, converta: IN = Vth/Rth, com RN = Rth em paralelo.

2Exercícios

1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia
+−5 V330 Ω330 Ω + ΔR330 Ω330 Ωab+−Vab​ = ?

Uma ponte tem quatro braços de 330 Ω e Vs = 5 V. O sensor R₂ aumenta de ΔR = 26,4 Ω. Encontre a saída exata Vab em mV.

Vs = 5 VR = 330 ΩΔR = 26,4 Ω
Vab = mV
2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil
+−5 V350 Ω − ΔR350 Ω + ΔR350 Ω + ΔR350 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

Uma ponte com braços de 350 Ω é excitada com 5 V e tem quatro extensômetros ativos, dois sob tração e dois sob compressão (ponte completa). O fator do extensômetro é 2,1 e a deformação é 750 µε. Encontre a saída da ponte Vo em mV.

Vs = 5 VGF = 2,1ε = 750 µε
Vo = mV
3.Aquisição de dados e amostragemMédia
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​Tb​11·Tb​115200 Bd, 8N2

Uma UART envia bytes a 115200 baud no formato 8N2: 8 bits de dados, sem paridade e 2 bit(s) de parada, além do bit de início. Encontre o maior número de bytes de dados por segundo que ela consegue transferir.

baud = 115200 Bd8N2
RB = B/s
4.Aquisição de dados e amostragemDifícil
f0fs​/2fs​900 Hz7f₁?

Uma onda quadrada de 900 Hz é amostrada a 5 kHz sem filtro antialiasing. Uma onda quadrada contém os harmônicos ímpares 3f₁, 5f₁, 7f₁, … Em que frequência fa o harmônico 7f₁ aparece nos dados amostrados? Dê em Hz.

f₁ = 900 Hzfs = 5 kHzharmônico: 7f₁
fa = Hz
5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia
−+Vout​Rf​ = 47 kΩR1​ = 2 kΩVin​ = 0,3 V

O amplificador operacional é ideal e alimentado com ±15 V. Encontre a tensão de saída Vout.

Vin = 0,3 VR1 = 2 kΩRf = 47 kΩ
Vout = V
6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil
−+Vout​Rf​ = 1 kΩV1​ = 0,4 VR1​ = 100 kΩV2​ = 0,5 VR2​ = 2 kΩ

O amplificador somador usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V. Encontre a tensão de saída Vout.

V1 = 0,4 VV2 = 0,5 VR1 = 100 kΩR2 = 2 kΩRf = 1 kΩ
Vout = V
7.Resistores em série e paraleloMédia
R1​ = 12 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩIR2​AR4​3 ΩB

Encontre a corrente IR2 em R2.

V1 = 24 VR1 = 12 ΩR2 = 5 ΩR3 = 12 ΩR4 = 3 Ω
IR2 = A
8.Resistores em série e paraleloDifícil
R1​ = 2 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩIR2​AR4​6 ΩBR6​25 Ω

Encontre a corrente IR2 em R2.

V1 = 10 VR1 = 2 ΩR2 = 8 ΩR3 = 8 ΩR4 = 6 ΩR5 = 2 ΩR6 = 25 Ω
IR2 = A
9.Thévenin e NortonMédia
R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​4 ΩARL​6 ΩIL​B

Uma carga RL = 6 Ω é ligada entre a–b. Substitua o resto do circuito pelo seu equivalente de Thévenin e encontre a corrente na carga IL.

V1 = 15 VR1 = 6 ΩR2 = 4 ΩR3 = 10 ΩRL = 6 Ω
IL = A
10.Thévenin e NortonDifícil
R1​ = 6 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​5 VR2​4 ΩAIs​2,5 ABab

Encontre a tensão de Thévenin Vth vista dos terminais a–b.

V1 = 5 VIs = 2,5 AR1 = 6 ΩR2 = 4 ΩR3 = 30 Ω
Vth = V

3Soluções

1.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: Vab = 96,15 mV

Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação Vs. O divisor da esquerda R1–R2 dá Va = Vs·R2/(R1 + R2) e o divisor da direita R3–R4 dá Vb = Vs·R4/(R3 + R4); a saída é Vab = Va − Vb. A ponte está equilibrada (Vab = 0, sem corrente no medidor) quando R1/R2 = R3/R4, isto é, R1·R4 = R2·R3. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

Tensões dos nós

Va = 5·356,4/686,4 = 2,596 V
Vb = 2,5 V

Saídas

Vab = 96,15 mV

Resposta

Vab = 96,15 mV

A estimativa linear Vs·ΔR/(4R) = 100 mV está 4 % alta demais: um quarto de ponte não é perfeitamente linear.

2.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: Vo = 7,875 mV

Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão Vs·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão Vs·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.

Variação relativa da resistência

ΔR/R = 2,1·750·10⁻⁶ = 0,001575

Saída da ponte

Vo = Vs·GF·ε = 5·0,001575 = 7,875 mV

Resposta

Vo = 7,875 mV
3.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: RB = 10473 B/s

UART: um enlace serial assíncrono envia cada byte como um quadro: um bit de início (baixo), os bits de dados, um bit de paridade opcional e um ou dois bits de parada (alto). A taxa de baud é o número de bits por segundo, então um bit dura Tb = 1/baud e um quadro de n bits dura n/baud. O formato comum 8N1 tem 10 bits por byte. O gerador de baud divide o clock: baud = fclk/(16·D) com um número inteiro D, então a taxa de baud real difere um pouco da desejada; um erro abaixo de cerca de 2 % costuma ser aceitável.

Bits por quadro

1 + 8 + 0 + 2 = 11

Taxa de bytes

115200/11 = 10473 B/s

Resposta

RB = 10473 B/s
4.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: fa = 1300 Hz

Amostragem: um ADC mede o sinal fs vezes por segundo. Pelo teorema de Nyquist–Shannon, uma frequência f só é capturada corretamente enquanto f < fs/2, a frequência de Nyquist (de dobramento), de modo que a taxa de amostragem deve superar o dobro da maior frequência do sinal. Uma frequência mais alta não se perde: ela aparece como um alias em fa = |f − k·fs|, com o número inteiro k que leva o resultado para entre 0 e fs/2. As amostras não distinguem as duas, então um filtro analógico antialiasing deve remover tudo acima de fs/2 antes do ADC.

Frequência do harmônico

7f₁ = 7·900 Hz = 6,3 kHz

Múltiplo mais próximo da taxa de amostragem

m = round(1,26) = 1

Frequência de aliasing

fa = |6300 − 1·5000| = 1300 Hz

Resposta

fa = 1300 Hz

O alias cai dentro da banda do sinal, onde nenhum filtro digital consegue removê-lo. Só um filtro analógico antes do ADC ajuda.

5.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: Vout = 7,35 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

A entrada inversora segue a entrada

V₋ = V₊ = 0,3 V
I = V₋/R1 = 0,3/2 = 0,15 mA

Tensão de saída

A corrente em R₁ também passa por Rf.

Vout = V₋ + I·Rf = 0,3 + 0,15·47 = 7,35 V

Resposta

Vout = 7,35 V
6.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: Vout = −0,254 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Correntes de entrada

V₋ = 0, então cada resistor de entrada tem toda a sua tensão de entrada sobre ele.

I1 = V1/R1 = 0,4/100 = 0,004 mA
I2 = V2/R2 = 0,5/2 = 0,25 mA
If = I1 + I2 = 0,254 mA

Tensão de saída

Vout = −Rf·If = −1·0,254 = −0,254 V

Resposta

Vout = −0,254 V
7.Resistores em série e paralelo

Resposta: IR2 = 1,143 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 12 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩAR4​3 ΩB

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R3 + R4 = 12 + 3 = 15 Ω
R2 ∥ 15 = 5·15/(5+15) = 3,75 Ω
Req = R1 + 3,75 = 12 + 3,75 = 15,75 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

IR1 = V1/Req = 24/15,75 = 1,524 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 1,524·12 = 5,714 V
IR2 = VA/R2 = 5,714/5 = 1,143 A

Resposta

IR2 = 1,143 A
8.Resistores em série e paralelo

Resposta: IR2 = 0,8897 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 2 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAR4​6 ΩBR6​25 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R5 + R6 = 2 + 25 = 27 Ω
R4 ∥ 27 = 4,909 Ω
R3 + 4,909 = 12,91 Ω
R2 ∥ 12,91 = 4,939 Ω
Req = R1 + 4,939 = 2 + 4,939 = 6,939 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

IR1 = V1/Req = 10/6,939 = 1,441 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 1,441·2 = 7,118 V
IR2 = VA/R2 = 7,118/8 = 0,8897 A

Resposta

IR2 = 0,8897 A
9.Thévenin e Norton

Resposta: IL = 0,3261 A

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.

R1​ = 6 ΩR3​ = 10 ΩCURTOR2​4 ΩAabRth​

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R1 ∥ R2 = 6·4/(6+4) = 2,4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,4 + 10 = 12,4 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​4 ΩAab+−Vth​

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, não passa corrente por R₃, então não há queda nele e V_b = V_A. R₁ e R₂ formam um divisor de tensão.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·4/(6+4) = 6 V
Rth​ = 12,4 Ω+−Vth​6 VRL​6 ΩIL​

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

A fonte de Thévenin e R_th em série se comportam exatamente como o circuito original em a–b, então a carga vê uma malha simples em série.

IL = Vth/(Rth + RL) = 6/(12,4 + 6) = 0,3261 A
10.Thévenin e Norton

Resposta: Vth = 83 V

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.

R1​ = 6 ΩR3​ = 30 ΩCURTOR2​4 ΩAABERTOBabRth​

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R1 ∥ R2 = 6·4/(6+4) = 2,4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,4 + 30 = 32,4 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​5 VR2​4 ΩAIs​2,5 ABab+−Vth​

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2 + 2,5·2,4 = 8 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 8 + 2,5·30 = 83 V

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