Medição e Instrumentação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Tensões dos divisores: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Saídas: V_ab = V_a − V_b
Balanço: R₁/R₂ = R₃/R₄
Ponte de fio: R/R_x = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Fator do extensômetro: ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte: quarto V_s·GF·ε/4, meia V_s·GF·ε/2, completa V_s·GF·ε
Pequena variação, um braço: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Tensão: σ = E·ε

Método

Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
Para uma ponte desequilibrada, encontre V_a e V_b a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use V_s·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.

Aquisição de dados e amostragem

Critério de Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Frequência de aliasing: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Tamanho do passo: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento): ±½ LSB
Código do ADC com truncamento: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits para uma resolução r: 2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados: canais × f_s × N bit/s
ADC multiplexado: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud: baud = f_clk/(16·D)

Método

Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
Em questões de amostragem, compare cada frequência com f_s/2; uma frequência mais alta aparece em f_a = |f − k·f_s|, com o múltiplo de f_s mais próximo.
Em questões de resolução, determine 1 LSB = V_FSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

Circuitos com amplificadores operacionais

Amplificador inversor: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Amplificador não inversor: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Amplificador somador: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Amplificador operacional ideal: V₊ = V₋, I_in = 0

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Thévenin e Norton

Tensão de Thévenin: V_th = V_{open circuit}
Resistência de Thévenin: R_th: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton: I_N = V_th/R_th
Corrente na carga: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Máxima transferência de potência: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Método

Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é V_th.
Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é R_th.
Recoloque a carga no circuito equivalente: V_th em série com R_th.
Para o equivalente de Norton, converta: I_N = V_th/R_th, com R_N = R_th em paralelo.

2Exercícios

1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia

Uma ponte tem quatro braços de 300 Ω e V_s = 6 V. O sensor R₂ aumenta de ΔR = 0,6 Ω. Usando a aproximação para pequenas variações, encontre a saída V_ab em mV.

V_s = 6 VR = 300 ΩΔR = 0,6 Ω

V_ab = mV

2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil

Uma ponte com braços de 120 Ω é excitada com 3 V e tem um extensômetro ativo (um quarto de ponte). O fator do extensômetro é 2,1 e a deformação é 1200 µε. Encontre a saída da ponte V_o em mV.

V_s = 3 VGF = 2,1ε = 1200 µε

V_o = mV

3.Aquisição de dados e amostragemMédia

Um sensor mede temperatura em uma faixa de 200 °C, e sua saída preenche toda a faixa de entrada de um ADC. A leitura deve resolver 0,1 °C. Encontre o menor número de bits N de que o ADC precisa.

faixa = 200 °Cresolução = 0,1 °C

N =

4.Aquisição de dados e amostragemDifícil

Uma medição de áudio exige uma relação sinal-ruído de quantização ideal de pelo menos 40 dB para uma senoide de fundo de escala. Encontre o menor número de bits N do ADC.

SQNR ≥ 40 dB

N =

5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia

O amplificador operacional é ideal e alimentado com ±15 V. Encontre a tensão de saída V_out.

V_in = 0,9 VR₁ = 2 kΩR_f = 4,7 kΩ

V_out = V

6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil

O integrador usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V; sua saída satura em ±14 V. O capacitor está descarregado quando uma entrada constante V_in = 0,3 V é aplicada em t = 0. Quanto tempo após t = 0 a saída atinge a saturação? Encontre t.

V_in = 0,3 VR = 10 kΩC = 1 µFV_sat = ±14 V

t = ms

7.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 8 Ω

R_eq = Ω

8.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 36 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 4 Ω

I_R1 = A

9.Thévenin e NortonMédia

Encontre a tensão de Thévenin V_th vista dos terminais a–b.

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 Ω

V_th = V

10.Thévenin e NortonDifícil

Uma carga R_L = 3 Ω é ligada entre a–b. Use um equivalente de Thévenin para encontrar a potência P_L entregue à carga.

V₁ = 10 VI_s = 1 AR₁ = 12 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 3 Ω

P_L = W

3Soluções

1.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: V_ab = 3 mV

Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação V_s. O divisor da esquerda R₁–R₂ dá V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) e o divisor da direita R₃–R₄ dá V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); a saída é V_ab = V_a − V_b. A ponte está equilibrada (V_ab = 0, sem corrente no medidor) quando R₁/R₂ = R₃/R₄, isto é, R₁·R₄ = R₂·R₃. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Variação relativa

ΔR/R = 0,6/300 = 0,002

Saída linearizada

V_ab ≈ 6·0,002/4 = 3 mV

Resposta

V_ab = 3 mV

O valor exato é 2,997 mV; a aproximação é boa enquanto ΔR/R for pequeno.

2.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: V_o = 1,89 mV

Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão V_s·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão V_s·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.

Variação relativa da resistência

ΔR/R = 2,1·1200·10⁻⁶ = 0,00252

Saída da ponte

V_o ≈ V_s·GF·ε/4 = 3·0,00252/4 = 1,89 mV

Resposta

V_o = 1,89 mV

3.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: N = 11

Resolução do ADC: um conversor de N bits divide sua faixa de fundo de escala V_FSR em 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Um passo é 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: a menor variação que o conversor consegue mostrar. Um ADC com truncamento dá o código ⌊V_in/LSB⌋; um ADC com arredondamento nunca fica a mais de ½ LSB do valor verdadeiro, seu erro de quantização. Cada bit a mais reduz o LSB à metade e acrescenta cerca de 6 dB à relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para uma senoide de fundo de escala. Para alcançar uma resolução r em uma faixa, escolha o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/r.

Passos necessários

200/0,1 = 2000

Bits

log₂(2000) = 10,97

2¹⁰ = 1024 < 2000 ≤ 2¹¹ = 2048

N = 11

Resposta

N = 11

4.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: N = 7

Resolva para N

N ≥ (40 − 1,76)/6,02 = 6,352

Arredondar para cima

N = 7

verificação: 6,02·7 + 1,76 = 43,9 dB ≥ 40 dB

Resposta

N = 7

5.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: V_out = 3,015 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

A entrada inversora segue a entrada

V₋ = V₊ = 0,9 V

I = V₋/R₁ = 0,9/2 = 0,45 mA

Tensão de saída

A corrente em R₁ também passa por R_f.

V_out = V₋ + I·R_f = 0,9 + 0,45·4,7 = 3,015 V

Resposta

V_out = 3,015 V

6.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: t = 466,7 ms

Corrente de entrada e taxa da rampa

kΩ vezes µF dá milissegundos.

RC = 10 kΩ · 1 µF = 10 ms

taxa da rampa = −V_in/(RC) = −0,3/10 = −0,03 V/ms

Tempo até a saturação

|V_in|·t/(RC) = V_sat → t = V_sat·RC/|V_in| = 14·10/0,3 = 466,7 ms

Resposta

t = 466,7 ms

7.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 12 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 4 + 8 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 12·12/(12+12) = 6 Ω

R_eq = R₁ + 6 = 6 + 6 = 12 Ω

Resposta

R_eq = 12 Ω

8.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 2,189 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 12 + 4 = 16 Ω

R₄ ∥ 16 = 3,2 Ω

R₃ + 3,2 = 33,2 Ω

R₂ ∥ 33,2 = 6,447 Ω

R_eq = R₁ + 6,447 = 10 + 6,447 = 16,45 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/16,45 = 2,189 A

Resposta

I_R1 = 2,189 A

9.Thévenin e Norton

Resposta: V_th = 2,857 V

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão V_th em série com uma resistência R_th. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente I_N = V_th/R_th em paralelo com R_th.

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R₁ ∥ R₂ = 5·2/(5+2) = 1,429 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,429 + 5 = 6,429 Ω

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, não passa corrente por R₃, então não há queda nele e V_b = V_A. R₁ e R₂ formam um divisor de tensão.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·2/(5+2) = 2,857 V

10.Thévenin e Norton

Resposta: P_L = 4,763 W

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R₁ ∥ R₂ = 12·20/(12+20) = 7,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 7,5 + 2 = 9,5 Ω

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 6,25 + 1·7,5 = 13,75 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 13,75 + 1·2 = 15,75 V

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

A fonte de Thévenin e R_th em série se comportam exatamente como o circuito original em a–b, então a carga vê uma malha simples em série.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 15,75/(9,5 + 3) = 1,26 A

P_L = I_L²·R_L = 1,26²·3 = 4,763 W

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Medição e Instrumentação: pacote de revisão

1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Método

Aquisição de dados e amostragem

Método

Circuitos com amplificadores operacionais

Resistores em série e paralelo

Método

Thévenin e Norton

Método

2Exercícios

3Soluções

Variação relativa

Saída linearizada

Resposta

Variação relativa da resistência

Saída da ponte

Resposta

Passos necessários

Bits

Resposta

Resolva para N

Arredondar para cima

Resposta

A entrada inversora segue a entrada

Tensão de saída

Resposta

Corrente de entrada e taxa da rampa

Tempo até a saturação

Resposta

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Resposta

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Corrente da fonte

Resposta

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto