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1Fórmulas e métodos
Ponte de Wheatstone e extensômetros
Tensões dos divisores
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Saídas
Vab = Va − Vb
Balanço
R1/R2 = R3/R4
Ponte de fio
R/Rx = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Fator do extensômetro
ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte
quarto Vs·GF·ε/4, meia Vs·GF·ε/2, completa Vs·GF·ε
Pequena variação, um braço
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tensão
σ = E·ε
Método
Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
Para uma ponte desequilibrada, encontre Va e Vb a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use Vs·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.
Aquisição de dados e amostragem
Critério de Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frequência de aliasing
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Tamanho do passo
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento)
±½ LSB
Código do ADC com truncamento
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits para uma resolução r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados
canais × fs × N bit/s
ADC multiplexado
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud
baud = fclk/(16·D)
Método
Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
Em questões de amostragem, compare cada frequência com fs/2; uma frequência mais alta aparece em fa = |f − k·fs|, com o múltiplo de fs mais próximo.
Em questões de resolução, determine 1 LSB = VFSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.
Circuitos com amplificadores operacionais
Amplificador inversor
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Amplificador não inversor
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Amplificador somador
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Amplificador operacional ideal
V+ = V−, Iin = 0
Resistores em série e paralelo
Resistências em série
Req = R1 + R2 + …
Resistências em paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dois em paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Lei de Ohm
V = I·R
Potência
P = V·I = I²R = V²/R
Método
Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.
Thévenin e Norton
Tensão de Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistência de Thévenin
Rth: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton
IN = Vth/Rth
Corrente na carga
IL = Vth/(Rth + RL)
Máxima transferência de potência
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Método
Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é Vth.
Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é Rth.
Recoloque a carga no circuito equivalente: Vth em série com Rth.
Para o equivalente de Norton, converta: IN = Vth/Rth, com RN = Rth em paralelo.
2Exercícios
1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia
Uma ponte com quatro braços de 220 Ω é alimentada com 10 V. Quando o sensor R₂ varia, a saída marca Vab = 238,1 mV. Encontre a variação exata ΔR de R₂.
Vs = 10 VR = 220 ΩVab = 238,1 mV
ΔR = Ω
2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil
Uma célula de carga (uma ponte completa de extensômetros) tem uma saída nominal de 1,5 mV/V na carga nominal de 100 kg. Ela é excitada com 10 V. Encontre sua saída Vo sob uma carga de 50 kg.
1,5 mV/VFrated = 100 kgVs = 10 VF = 50 kg
Vo = mV
3.Aquisição de dados e amostragemMédia
Encontre a relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR de um ADC de 20 bits para uma senoide de fundo de escala.
N = 20
SQNR = dB
4.Aquisição de dados e amostragemDifícil
Um microcontrolador com clock de 1 MHz define sua taxa de baud da UART como fclk/(16·D), com D um número inteiro arredondado para o valor mais próximo. O alvo é 9600 baud. Encontre o erro percentual da taxa de baud real (positivo quando ela é rápida demais).
fclk = 1 MHzalvo = 9600 Bd
e = %
5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia
Escolha o resistor de realimentação Rf que dá a este amplificador não inversor um ganho de tensão de 6.
R1 = 22 kΩAv = 6
Rf = kΩ
6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil
O amplificador somador usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V. Encontre a corrente If no resistor de realimentação, fluindo em direção à saída.
Uma carga RL = 12 Ω é ligada entre a–b. Substitua o resto do circuito pelo seu equivalente de Thévenin e encontre a corrente na carga IL.
V1 = 15 VR1 = 15 ΩR2 = 2 ΩR3 = 8 ΩRL = 12 Ω
IL = A
10.Thévenin e NortonDifícil
Encontre a corrente de Norton IN: a corrente que flui de a para b se os terminais forem curto-circuitados.
V1 = 30 VIs = 5 AR1 = 4 ΩR2 = 15 ΩR3 = 30 Ω
IN = A
3Soluções
1.Ponte de Wheatstone e extensômetros
Resposta: ΔR = 22 Ω
Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação Vs. O divisor da esquerda R1–R2 dá Va = Vs·R2/(R1 + R2) e o divisor da direita R3–R4 dá Vb = Vs·R4/(R3 + R4); a saída é Vab = Va − Vb. A ponte está equilibrada (Vab = 0, sem corrente no medidor) quando R1/R2 = R3/R4, isto é, R1·R4 = R2·R3. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com Rth = R1∥R2 + R3∥R4.
Tensão do nó
Va = 5 + 0,2381 = 5,238 V
Resolva o divisor
R₂ = 220·5,238/(10 − 5,238) = 242 Ω
ΔR = 242 − 220 = 22 Ω
Resposta
ΔR = 22 Ω
2.Ponte de Wheatstone e extensômetros
Resposta: Vo = 7,5 mV
Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão Vs·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão Vs·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.
Saída em fundo de escala
1,5·10 = 15 mV
Saída nesta carga
Vo = 15·50/100 = 7,5 mV
Resposta
Vo = 7,5 mV
3.Aquisição de dados e amostragem
Resposta: SQNR = 122,2 dB
Resolução do ADC: um conversor de N bits divide sua faixa de fundo de escala VFSR em 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Um passo é 1 LSB = VFSR/2ᴺ: a menor variação que o conversor consegue mostrar. Um ADC com truncamento dá o código ⌊Vin/LSB⌋; um ADC com arredondamento nunca fica a mais de ½ LSB do valor verdadeiro, seu erro de quantização. Cada bit a mais reduz o LSB à metade e acrescenta cerca de 6 dB à relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para uma senoide de fundo de escala. Para alcançar uma resolução r em uma faixa, escolha o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/r.
SQNR ideal
SQNR = 6,02·20 + 1,76 = 122,2 dB
Resposta
SQNR = 122,2 dB
4.Aquisição de dados e amostragem
Resposta: e = −6,994 %
UART: um enlace serial assíncrono envia cada byte como um quadro: um bit de início (baixo), os bits de dados, um bit de paridade opcional e um ou dois bits de parada (alto). A taxa de baud é o número de bits por segundo, então um bit dura Tb = 1/baud e um quadro de n bits dura n/baud. O formato comum 8N1 tem 10 bits por byte. O gerador de baud divide o clock: baud = fclk/(16·D) com um número inteiro D, então a taxa de baud real difere um pouco da desejada; um erro abaixo de cerca de 2 % costuma ser aceitável.
Divisor
D = 1·10⁶/(16·9600) = 6,51 → 7
Taxa de baud real
1·10⁶/(16·7) = 8929 Bd
Erro
(8929 − 9600)/9600·100 = −6,994 %
Resposta
e = −6,994 %
Um erro acima de cerca de 2 % torna o enlace pouco confiável: escolha outro clock ou outra taxa de baud.
5.Circuitos com amplificadores operacionais
Resposta: Rf = 110 kΩ
Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.
Ganho de um amplificador não inversor
V₋ = V₊ = Vin, e a corrente em R₁ também passa por Rf, então Vout = Vin·(1 + Rf/R₁).
Av = 1 + Rf/R1
Rf = (6 − 1)·22 = 110 kΩ
Resposta
Rf = 110 kΩ
6.Circuitos com amplificadores operacionais
Resposta: If = 0,2149 mA
Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.
Correntes de entrada
V₋ = 0, então cada resistor de entrada tem toda a sua tensão de entrada sobre ele.
I1 = V1/R1 = −0,4/4,7 = −0,08511 mA
I2 = V2/R2 = 0,3/1 = 0,3 mA
If = I1 + I2 = 0,2149 mA
Resposta
If = 0,2149 mA
7.Resistores em série e paralelo
Resposta: Req = 15,61 Ω
Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.
Combine os resistores a partir da extremidade mais distante
Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.
R3 + R4 = 10 + 3 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 5·13/(5+13) = 3,611 Ω
Req = R1 + 3,611 = 12 + 3,611 = 15,61 Ω
Resposta
Req = 15,61 Ω
8.Resistores em série e paralelo
Resposta: Req = 16,25 Ω
Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.
Combine os resistores a partir da extremidade mais distante
Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.
R5 + R6 = 2 + 12 = 14 Ω
R4 ∥ 14 = 9,545 Ω
R3 + 9,545 = 14,55 Ω
R2 ∥ 14,55 = 4,248 Ω
Req = R1 + 4,248 = 12 + 4,248 = 16,25 Ω
Resposta
Req = 16,25 Ω
9.Thévenin e Norton
Resposta: IL = 0,08108 A
Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.
Encontre Rth com todas as fontes desligadas
Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.
R1 ∥ R2 = 15·2/(15+2) = 1,765 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,765 + 8 = 9,765 Ω
Encontre Vth, a tensão de circuito aberto
Com a–b aberto, não passa corrente por R₃, então não há queda nele e V_b = V_A. R₁ e R₂ formam um divisor de tensão.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·2/(15+2) = 1,765 V
Ligue a carga ao equivalente de Thévenin
A fonte de Thévenin e R_th em série se comportam exatamente como o circuito original em a–b, então a carga vê uma malha simples em série.
IL = Vth/(Rth + RL) = 1,765/(9,765 + 12) = 0,08108 A
10.Thévenin e Norton
Resposta: IN = −4,286 A
Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.
Encontre Rth com todas as fontes desligadas
Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.
R1 ∥ R2 = 4·15/(4+15) = 3,158 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,158 + 30 = 33,16 Ω
Encontre Vth, a tensão de circuito aberto
Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 23,68 + (−5)·3,158 = 7,895 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 7,895 + (−5)·30 = −142,1 V
Equivalente de Norton
Uma fonte de Norton é o mesmo circuito visto como uma fonte de corrente em paralelo com R_th. Sua corrente é a corrente de curto-circuito em a–b.