Medição e Instrumentação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Tensões dos divisores
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Saídas
Vab = Va − Vb
Balanço
R1/R2 = R3/R4
Ponte de fio
R/Rx = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Fator do extensômetro
ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte
quarto Vs·GF·ε/4, meia Vs·GF·ε/2, completa Vs·GF·ε
Pequena variação, um braço
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tensão
σ = E·ε

Método

  1. Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
  2. Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
  3. Para uma ponte desequilibrada, encontre Va e Vb a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
  4. Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use Vs·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.

Aquisição de dados e amostragem

Critério de Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frequência de aliasing
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Tamanho do passo
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento)
±½ LSB
Código do ADC com truncamento
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits para uma resolução r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados
canais × fs × N bit/s
ADC multiplexado
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud
baud = fclk/(16·D)

Método

  1. Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
  2. Em questões de amostragem, compare cada frequência com fs/2; uma frequência mais alta aparece em fa = |f − k·fs|, com o múltiplo de fs mais próximo.
  3. Em questões de resolução, determine 1 LSB = VFSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
  4. Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

Circuitos com amplificadores operacionais

Amplificador inversor
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Amplificador não inversor
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Amplificador somador
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Amplificador operacional ideal
V+ = V−, Iin = 0

Resistores em série e paralelo

Resistências em série
Req = R1 + R2 + …
Resistências em paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dois em paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Lei de Ohm
V = I·R
Potência
P = V·I = I²R = V²/R

Método

  1. Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
  2. Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Redesenhe o circuito após cada passo.
  4. Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Thévenin e Norton

Tensão de Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistência de Thévenin
Rth: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton
IN = Vth/Rth
Corrente na carga
IL = Vth/(Rth + RL)
Máxima transferência de potência
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Método

  1. Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
  2. Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é Vth.
  3. Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é Rth.
  4. Recoloque a carga no circuito equivalente: Vth em série com Rth.
  5. Para o equivalente de Norton, converta: IN = Vth/Rth, com RN = Rth em paralelo.

2Exercícios

1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia
+−15 V330 Ω330 Ω + ΔR330 Ω330 Ωab+−74,26 mV

Uma ponte com quatro braços de 330 Ω é alimentada com 15 V. Quando o sensor R₂ varia, a saída marca Vab = 74,26 mV. Encontre a variação exata ΔR de R₂.

Vs = 15 VR = 330 ΩVab = 74,26 mV
ΔR = Ω
2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil
+−12 V350 Ω − ΔR350 Ω + ΔR350 Ω + ΔR350 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

Uma célula de carga (uma ponte completa de extensômetros) tem uma saída nominal de 1,5 mV/V na carga nominal de 1000 kg. Ela é excitada com 12 V. Encontre sua saída Vo sob uma carga de 600 kg.

1,5 mV/VFrated = 1000 kgVs = 12 VF = 600 kg
Vo = mV
3.Aquisição de dados e amostragemMédia
tTs​ = 1/fs​f = 37 kHzfs​ = 20 kHz

Uma onda senoidal de 37 kHz é amostrada a 20 kHz sem filtro antialiasing. Em que frequência fa ela aparece nas amostras? Dê em kHz.

f = 37 kHzfs = 20 kHz
fa = kHz
4.Aquisição de dados e amostragemDifícil
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​1/fbaud​1 MHz / (16·D)

Um microcontrolador com clock de 1 MHz define sua taxa de baud da UART como fclk/(16·D), com D um número inteiro arredondado para o valor mais próximo. O alvo é 9600 baud. Encontre o erro percentual da taxa de baud real (positivo quando ela é rápida demais).

fclk = 1 MHzalvo = 9600 Bd
e = %
5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia
−+Vout​Rf​ = 4,7 kΩR1​ = 1 kΩVin​ = −4,5 VRa​ = 22 kΩRb​ = 4,7 kΩ

O amplificador operacional é ideal e alimentado com ±15 V. Encontre a tensão de saída Vout.

Vin = −4,5 VRa = 22 kΩRb = 4,7 kΩR1 = 1 kΩRf = 4,7 kΩ
Vout = V
6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil
−+Vout​Rf​ = 47 kΩV1​ = −1,2 VR1​ = 10 kΩV2​ = 0,6 VR2​ = 4,7 kΩ

O amplificador somador usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V. Encontre a tensão de saída Vout.

V1 = −1,2 VV2 = 0,6 VR1 = 10 kΩR2 = 4,7 kΩRf = 47 kΩ
Vout = V
7.Resistores em série e paraleloMédia
R1​ = 10 ΩIR1​R3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​12 ΩAR4​4 ΩB

Encontre a corrente IR1 fornecida pela fonte, que passa por R1.

V1 = 12 VR1 = 10 ΩR2 = 12 ΩR3 = 6 ΩR4 = 4 Ω
IR1 = A
8.Resistores em série e paraleloDifícil
R1​ = 6 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​6 VR2​10 ΩAR4​8 ΩBR6​2 Ω

Encontre a resistência equivalente Req vista pela fonte V1.

V1 = 6 VR1 = 6 ΩR2 = 10 ΩR3 = 4 ΩR4 = 8 ΩR5 = 2 ΩR6 = 2 Ω
Req = Ω
9.Thévenin e NortonMédia
R1​ = 5 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩAab

Encontre a corrente de Norton IN: a corrente que flui de a para b se os terminais forem curto-circuitados.

V1 = 12 VR1 = 5 ΩR2 = 5 ΩR3 = 6 Ω
IN = A
10.Thévenin e NortonDifícil
R1​ = 5 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAIs​0,5 ABRL​12 ΩIL​

Uma carga RL = 12 Ω é ligada entre a–b. Substitua o resto do circuito pelo seu equivalente de Thévenin e encontre a corrente na carga IL.

V1 = 10 VIs = 0,5 AR1 = 5 ΩR2 = 4 ΩR3 = 10 ΩRL = 12 Ω
IL = A

3Soluções

1.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: ΔR = 6,6 Ω

Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação Vs. O divisor da esquerda R1–R2 dá Va = Vs·R2/(R1 + R2) e o divisor da direita R3–R4 dá Vb = Vs·R4/(R3 + R4); a saída é Vab = Va − Vb. A ponte está equilibrada (Vab = 0, sem corrente no medidor) quando R1/R2 = R3/R4, isto é, R1·R4 = R2·R3. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

Tensão do nó

Va = 7,5 + 0,07426 = 7,574 V

Resolva o divisor

R₂ = 330·7,574/(15 − 7,574) = 336,6 Ω
ΔR = 336,6 − 330 = 6,6 Ω

Resposta

ΔR = 6,6 Ω
2.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: Vo = 10,8 mV

Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão Vs·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão Vs·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.

Saída em fundo de escala

1,5·12 = 18 mV

Saída nesta carga

Vo = 18·600/1000 = 10,8 mV

Resposta

Vo = 10,8 mV
3.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: fa = 3 kHz

Amostragem: um ADC mede o sinal fs vezes por segundo. Pelo teorema de Nyquist–Shannon, uma frequência f só é capturada corretamente enquanto f < fs/2, a frequência de Nyquist (de dobramento), de modo que a taxa de amostragem deve superar o dobro da maior frequência do sinal. Uma frequência mais alta não se perde: ela aparece como um alias em fa = |f − k·fs|, com o número inteiro k que leva o resultado para entre 0 e fs/2. As amostras não distinguem as duas, então um filtro analógico antialiasing deve remover tudo acima de fs/2 antes do ADC.

Frequência de Nyquist

fs/2 = 10 kHz < f = 37 kHz

Múltiplo mais próximo da taxa de amostragem

k = round(37/20) = 2

Frequência de aliasing

fa = |37 − 2·20| = 3 kHz

Resposta

fa = 3 kHz

A curva tracejada na figura é o alias: ela passa exatamente pelas mesmas amostras.

4.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: e = −6,994 %

UART: um enlace serial assíncrono envia cada byte como um quadro: um bit de início (baixo), os bits de dados, um bit de paridade opcional e um ou dois bits de parada (alto). A taxa de baud é o número de bits por segundo, então um bit dura Tb = 1/baud e um quadro de n bits dura n/baud. O formato comum 8N1 tem 10 bits por byte. O gerador de baud divide o clock: baud = fclk/(16·D) com um número inteiro D, então a taxa de baud real difere um pouco da desejada; um erro abaixo de cerca de 2 % costuma ser aceitável.

Divisor

D = 1·10⁶/(16·9600) = 6,51 → 7

Taxa de baud real

1·10⁶/(16·7) = 8929 Bd

Erro

(8929 − 9600)/9600·100 = −6,994 %

Resposta

e = −6,994 %

Um erro acima de cerca de 2 % torna o enlace pouco confiável: escolha outro clock ou outra taxa de baud.

5.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: Vout = −4,515 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Tensão na entrada +

V₊ = Vin·Rb/(Ra + Rb) = −4,5·4,7/(22 + 4,7) = −0,7921 V

Ganho não inversor

V₋ = V₊, e a corrente em R₁ também passa por Rf.

Vout = V₊·(1 + Rf/R1) = −0,7921·(1 + 4,7/1) = −4,515 V

Resposta

Vout = −4,515 V
6.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: Vout = −0,36 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Correntes de entrada

V₋ = 0, então cada resistor de entrada tem toda a sua tensão de entrada sobre ele.

I1 = V1/R1 = −1,2/10 = −0,12 mA
I2 = V2/R2 = 0,6/4,7 = 0,1277 mA
If = I1 + I2 = 0,00766 mA

Tensão de saída

Vout = −Rf·If = −47·0,00766 = −0,36 V

Resposta

Vout = −0,36 V
7.Resistores em série e paralelo

Resposta: IR1 = 0,7765 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 10 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​12 ΩAR4​4 ΩB

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R3 + R4 = 6 + 4 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 12·10/(12+10) = 5,455 Ω
Req = R1 + 5,455 = 10 + 5,455 = 15,45 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

IR1 = V1/Req = 12/15,45 = 0,7765 A

Resposta

IR1 = 0,7765 A
8.Resistores em série e paralelo

Resposta: Req = 10 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 6 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​6 VR2​10 ΩAR4​8 ΩBR6​2 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R5 + R6 = 2 + 2 = 4 Ω
R4 ∥ 4 = 2,667 Ω
R3 + 2,667 = 6,667 Ω
R2 ∥ 6,667 = 4 Ω
Req = R1 + 4 = 6 + 4 = 10 Ω

Resposta

Req = 10 Ω
9.Thévenin e Norton

Resposta: IN = 0,7059 A

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.

R1​ = 5 ΩR3​ = 6 ΩCURTOR2​5 ΩAabRth​

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R1 ∥ R2 = 5·5/(5+5) = 2,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,5 + 6 = 8,5 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩAab+−Vth​

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, não passa corrente por R₃, então não há queda nele e V_b = V_A. R₁ e R₂ formam um divisor de tensão.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·5/(5+5) = 6 V
IN​0,7059 ARth​8,5 Ωab

Equivalente de Norton

Uma fonte de Norton é o mesmo circuito visto como uma fonte de corrente em paralelo com R_th. Sua corrente é a corrente de curto-circuito em a–b.

IN = Vth/Rth = 6/8,5 = 0,7059 A
10.Thévenin e Norton

Resposta: IL = −0,06881 A

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.

R1​ = 5 ΩR3​ = 10 ΩCURTOR2​4 ΩAABERTOBabRth​

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R1 ∥ R2 = 5·4/(5+4) = 2,222 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,222 + 10 = 12,22 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAIs​0,5 ABab+−Vth​

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4,444 + (−0,5)·2,222 = 3,333 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 3,333 + (−0,5)·10 = −1,667 V
Rth​ = 12,22 Ω−+Vth​1,667 VRL​12 ΩIL​

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

A fonte de Thévenin e R_th em série se comportam exatamente como o circuito original em a–b, então a carga vê uma malha simples em série.

IL = Vth/(Rth + RL) = −1,667/(12,22 + 12) = −0,06881 A

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