Medição e Instrumentação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Tensões dos divisores: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Saídas: V_ab = V_a − V_b
Balanço: R₁/R₂ = R₃/R₄
Ponte de fio: R/R_x = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Fator do extensômetro: ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte: quarto V_s·GF·ε/4, meia V_s·GF·ε/2, completa V_s·GF·ε
Pequena variação, um braço: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Tensão: σ = E·ε

Método

Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
Para uma ponte desequilibrada, encontre V_a e V_b a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use V_s·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.

Aquisição de dados e amostragem

Critério de Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Frequência de aliasing: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Tamanho do passo: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento): ±½ LSB
Código do ADC com truncamento: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits para uma resolução r: 2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados: canais × f_s × N bit/s
ADC multiplexado: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud: baud = f_clk/(16·D)

Método

Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
Em questões de amostragem, compare cada frequência com f_s/2; uma frequência mais alta aparece em f_a = |f − k·f_s|, com o múltiplo de f_s mais próximo.
Em questões de resolução, determine 1 LSB = V_FSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

Circuitos com amplificadores operacionais

Amplificador inversor: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Amplificador não inversor: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Amplificador somador: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Amplificador operacional ideal: V₊ = V₋, I_in = 0

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Thévenin e Norton

Tensão de Thévenin: V_th = V_{open circuit}
Resistência de Thévenin: R_th: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton: I_N = V_th/R_th
Corrente na carga: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Máxima transferência de potência: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Método

Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é V_th.
Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é R_th.
Recoloque a carga no circuito equivalente: V_th em série com R_th.
Para o equivalente de Norton, converta: I_N = V_th/R_th, com R_N = R_th em paralelo.

2Exercícios

1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia

Encontre a resistência de Thévenin R_th da ponte mostrada, vista dos terminais de saída a e b.

V_s = 12 VR₁ = 250 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 150 ΩR₄ = 1000 Ω

R_th = Ω

2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil

Um extensômetro de 350 Ω com fator 2,05 está colado a uma barra de aço. Sob carga sua resistência aumenta 0,574 Ω. Encontre a deformação ε em microdeformação (µε).

R = 350 ΩGF = 2,05ΔR = 0,574 Ω

ε = µε

3.Aquisição de dados e amostragemMédia

Um ADC com faixa de entrada de 0 a 1 V deve resolver passos de 5 mV ou menores. Encontre o menor número de bits N.

V_FSR = 1 Vresolução = 5 mV

N =

4.Aquisição de dados e amostragemDifícil

Um microcontrolador com clock de 32 MHz define sua taxa de baud da UART como f_clk/(16·D), com D um número inteiro arredondado para o valor mais próximo. O alvo é 9600 baud. Encontre o erro percentual da taxa de baud real (positivo quando ela é rápida demais).

f_clk = 32 MHzalvo = 9600 Bd

e = %

5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia

O amplificador diferencial usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V, com R₃ = R₁ e R₄ = R₂. Encontre a tensão de saída V_out.

V₁ = 2,4 VV₂ = −1,8 VR₁ = R₃ = 47 kΩR₂ = R₄ = 10 kΩ

V_out = V

6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil

O amplificador somador usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V. Encontre a corrente I_f no resistor de realimentação, fluindo em direção à saída.

V₁ = 0,4 VV₂ = −1,5 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 47 kΩR_f = 10 kΩ

I_f = mA

7.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

8.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 5 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

9.Thévenin e NortonMédia

Encontre a tensão de Thévenin V_th vista dos terminais a–b.

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 Ω

V_th = V

10.Thévenin e NortonDifícil

Encontre a tensão de Thévenin V_th vista dos terminais a–b.

V₁ = 9 VI_s = 1 AR₁ = 2 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 25 Ω

V_th = V

3Soluções

1.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: R_th = 149 Ω

Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação V_s. O divisor da esquerda R₁–R₂ dá V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) e o divisor da direita R₃–R₄ dá V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); a saída é V_ab = V_a − V_b. A ponte está equilibrada (V_ab = 0, sem corrente no medidor) quando R₁/R₂ = R₃/R₄, isto é, R₁·R₄ = R₂·R₃. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Alimentação em curto

R₁∥R₂ = 250·20/270 = 18,52 Ω

R₃∥R₄ = 150·1000/1150 = 130,4 Ω

Resistência de Thévenin

R_th = 149 Ω

Resposta

R_th = 149 Ω

2.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: ε = 800 µε

Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão V_s·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão V_s·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.

Variação relativa da resistência

ΔR/R = 0,574/350 = 0,00164

Deformação

ε = 0,00164/2,05 = 0,0008 = 800 µε

Resposta

ε = 800 µε

3.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: N = 8

Resolução do ADC: um conversor de N bits divide sua faixa de fundo de escala V_FSR em 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Um passo é 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: a menor variação que o conversor consegue mostrar. Um ADC com truncamento dá o código ⌊V_in/LSB⌋; um ADC com arredondamento nunca fica a mais de ½ LSB do valor verdadeiro, seu erro de quantização. Cada bit a mais reduz o LSB à metade e acrescenta cerca de 6 dB à relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para uma senoide de fundo de escala. Para alcançar uma resolução r em uma faixa, escolha o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/r.

Passos necessários

1000 mV/5 mV = 200

Bits

log₂(200) = 7,644

2⁷ = 128 < 200 ≤ 2⁸ = 256

N = 8

Resposta

N = 8

4.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: e = 0,1603 %

UART: um enlace serial assíncrono envia cada byte como um quadro: um bit de início (baixo), os bits de dados, um bit de paridade opcional e um ou dois bits de parada (alto). A taxa de baud é o número de bits por segundo, então um bit dura T_b = 1/baud e um quadro de n bits dura n/baud. O formato comum 8N1 tem 10 bits por byte. O gerador de baud divide o clock: baud = f_clk/(16·D) com um número inteiro D, então a taxa de baud real difere um pouco da desejada; um erro abaixo de cerca de 2 % costuma ser aceitável.

Divisor

D = 32·10⁶/(16·9600) = 208,3 → 208

Taxa de baud real

32·10⁶/(16·208) = 9615 Bd

Erro

(9615 − 9600)/9600·100 = 0,1603 %

Resposta

e = 0,1603 %

Um erro abaixo de cerca de 2 % costuma ser aceitável.

5.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: V_out = −0,8936 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Tensão nas entradas

R₃ e R₄ conduzem a mesma corrente, então formam um divisor de tensão; a realimentação faz V₋ = V₊.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = −1,8·10/(47 + 10) = −0,3158 V

V₋ = V₊

LKC na entrada inversora

(2,4 − −0,3158)/47 = (−0,3158 − V_out)/10

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (10/47)·(−1,8 − 2,4) = −0,8936 V

Resposta

V_out = −0,8936 V

6.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: I_f = 0,05319 mA

Correntes de entrada

V₋ = 0, então cada resistor de entrada tem toda a sua tensão de entrada sobre ele.

I₁ = V₁/R₁ = 0,4/4,7 = 0,08511 mA

I₂ = V₂/R₂ = −1,5/47 = −0,03191 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0,05319 mA

Resposta

I_f = 0,05319 mA

7.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,8936 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 4 + 3 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 4·7/(4+7) = 2,545 Ω

R_eq = R₁ + 2,545 = 6 + 2,545 = 8,545 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/8,545 = 1,404 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 1,404·6 = 3,574 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,574/4 = 0,8936 A

Resposta

I_R2 = 0,8936 A

8.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 10,05 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 4 + 10 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 5,091 Ω

R₃ + 5,091 = 17,09 Ω

R₂ ∥ 17,09 = 7,05 Ω

R_eq = R₁ + 7,05 = 3 + 7,05 = 10,05 Ω

Resposta

R_eq = 10,05 Ω

9.Thévenin e Norton

Resposta: V_th = 11,54 V

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão V_th em série com uma resistência R_th. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente I_N = V_th/R_th em paralelo com R_th.

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R₁ ∥ R₂ = 6·20/(6+20) = 4,615 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,615 + 20 = 24,62 Ω

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, não passa corrente por R₃, então não há queda nele e V_b = V_A. R₁ e R₂ formam um divisor de tensão.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·20/(6+20) = 11,54 V

10.Thévenin e Norton

Resposta: V_th = 34,71 V

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R₁ ∥ R₂ = 2·15/(2+15) = 1,765 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,765 + 25 = 26,76 Ω

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 7,941 + 1·1,765 = 9,706 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 9,706 + 1·25 = 34,71 V

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Método

Aquisição de dados e amostragem

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Resistores em série e paralelo

Método

Thévenin e Norton

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3Soluções

Alimentação em curto

Resistência de Thévenin

Resposta

Variação relativa da resistência

Deformação

Resposta

Passos necessários

Bits

Resposta

Divisor

Taxa de baud real

Erro

Resposta

Tensão nas entradas

LKC na entrada inversora

Resposta

Correntes de entrada

Resposta

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Corrente da fonte

Corrente em R₂

Resposta

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Resposta

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto