Medição e Instrumentação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Tensões dos divisores: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Saídas: V_ab = V_a − V_b
Balanço: R₁/R₂ = R₃/R₄
Ponte de fio: R/R_x = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Fator do extensômetro: ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte: quarto V_s·GF·ε/4, meia V_s·GF·ε/2, completa V_s·GF·ε
Pequena variação, um braço: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Tensão: σ = E·ε

Método

Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
Para uma ponte desequilibrada, encontre V_a e V_b a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use V_s·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.

Aquisição de dados e amostragem

Critério de Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Frequência de aliasing: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Tamanho do passo: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento): ±½ LSB
Código do ADC com truncamento: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits para uma resolução r: 2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados: canais × f_s × N bit/s
ADC multiplexado: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud: baud = f_clk/(16·D)

Método

Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
Em questões de amostragem, compare cada frequência com f_s/2; uma frequência mais alta aparece em f_a = |f − k·f_s|, com o múltiplo de f_s mais próximo.
Em questões de resolução, determine 1 LSB = V_FSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

Circuitos com amplificadores operacionais

Amplificador inversor: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Amplificador não inversor: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Amplificador somador: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Amplificador operacional ideal: V₊ = V₋, I_in = 0

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Thévenin e Norton

Tensão de Thévenin: V_th = V_{open circuit}
Resistência de Thévenin: R_th: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton: I_N = V_th/R_th
Corrente na carga: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Máxima transferência de potência: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Método

Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é V_th.
Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é R_th.
Recoloque a carga no circuito equivalente: V_th em série com R_th.
Para o equivalente de Norton, converta: I_N = V_th/R_th, com R_N = R_th em paralelo.

2Exercícios

1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia

Um galvanômetro com resistência de 500 Ω é ligado entre a e b da ponte mostrada (V_s = 5 V). Encontre a corrente do galvanômetro I_g de a para b, em µA.

V_s = 5 VR₁ = 120 ΩR₂ = 80 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 400 ΩR_g = 500 Ω

I_g = µA

2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil

Uma ponte com braços de 350 Ω é excitada com 5 V e tem um extensômetro ativo (um quarto de ponte). O fator do extensômetro é 2,12 e a deformação é 250 µε. Encontre a saída da ponte V_o em mV.

V_s = 5 VGF = 2,12ε = 250 µε

V_o = mV

3.Aquisição de dados e amostragemMédia

Um ADC de 12 bits com faixa de entrada de 0 a 3,3 V trunca: seu código de saída é ⌊V_in/LSB⌋ com 1 LSB = V_FSR/2ᴺ. Encontre o código de saída decimal D para uma entrada de 0,856 V.

N = 12V_FSR = 3,3 VV_in = 0,856 V

D =

4.Aquisição de dados e amostragemDifícil

Uma medição de áudio exige uma relação sinal-ruído de quantização ideal de pelo menos 85 dB para uma senoide de fundo de escala. Encontre o menor número de bits N do ADC.

SQNR ≥ 85 dB

N =

5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia

O amplificador diferencial usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V, com R₃ = R₁ e R₄ = R₂. Encontre a tensão de saída V_out.

V₁ = 0,9 VV₂ = 2,8 VR₁ = R₃ = 4,7 kΩR₂ = R₄ = 2 kΩ

V_out = V

6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil

Dois estágios com amplificador operacional ideal estão ligados em cascata: um amplificador inversor (R₁, R_f1) seguido de um amplificador não inversor (R₂ para o terra, R_f2 na realimentação). Os dois são alimentados com ±15 V. A entrada é V_in = 0,15 V. Encontre a tensão de saída V_out.

R₁ = 2 kΩR_f1 = 100 kΩR₂ = 100 kΩR_f2 = 10 kΩV_in = 0,15 V

V_out = V

7.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 8 Ω

I_R1 = A

8.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 36 VR₁ = 3 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

9.Thévenin e NortonMédia

Encontre a tensão de Thévenin V_th vista dos terminais a–b.

V₁ = 18 VR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 Ω

V_th = V

10.Thévenin e NortonDifícil

Encontre a corrente de Norton I_N: a corrente que flui de a para b se os terminais forem curto-circuitados.

V₁ = 15 VI_s = 5 AR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 3 Ω

I_N = A

3Soluções

1.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: I_g = −5160 µA

Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação V_s. O divisor da esquerda R₁–R₂ dá V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) e o divisor da direita R₃–R₄ dá V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); a saída é V_ab = V_a − V_b. A ponte está equilibrada (V_ab = 0, sem corrente no medidor) quando R₁/R₂ = R₃/R₄, isto é, R₁·R₄ = R₂·R₃. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Tensão de Thévenin

V_th = 5·(80/200 − 400/410) = −2,878 V

Resistência de Thévenin

R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 57,76 Ω

Corrente do galvanômetro

I_g = −2,878/(57,76 + 500) = −5160 µA

Resposta

I_g = −5160 µA

2.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: V_o = 0,6625 mV

Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão V_s·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão V_s·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.

Variação relativa da resistência

ΔR/R = 2,12·250·10⁻⁶ = 0,00053

Saída da ponte

V_o ≈ V_s·GF·ε/4 = 5·0,00053/4 = 0,6625 mV

Resposta

V_o = 0,6625 mV

3.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: D = 1062

Resolução do ADC: um conversor de N bits divide sua faixa de fundo de escala V_FSR em 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Um passo é 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: a menor variação que o conversor consegue mostrar. Um ADC com truncamento dá o código ⌊V_in/LSB⌋; um ADC com arredondamento nunca fica a mais de ½ LSB do valor verdadeiro, seu erro de quantização. Cada bit a mais reduz o LSB à metade e acrescenta cerca de 6 dB à relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para uma senoide de fundo de escala. Para alcançar uma resolução r em uma faixa, escolha o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/r.

Tamanho do passo

1 LSB = 3,3/2¹² = 0,8057 mV

Código

V_in/LSB = 856/0,8057 = 1062

código = ⌊1062⌋ = 1062

Resposta

D = 1062

Em binário, isso é 010000100110.

4.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: N = 14

Resolva para N

N ≥ (85 − 1,76)/6,02 = 13,83

Arredondar para cima

N = 14

verificação: 6,02·14 + 1,76 = 86,04 dB ≥ 85 dB

Resposta

N = 14

5.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: V_out = 0,8085 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Tensão nas entradas

R₃ e R₄ conduzem a mesma corrente, então formam um divisor de tensão; a realimentação faz V₋ = V₊.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 2,8·2/(4,7 + 2) = 0,8358 V

V₋ = V₊

LKC na entrada inversora

(0,9 − 0,8358)/4,7 = (0,8358 − V_out)/2

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (2/4,7)·(2,8 − 0,9) = 0,8085 V

Resposta

V_out = 0,8085 V

6.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: V_out = −8,25 V

Ganho de cada estágio

A₁ = −R_f1/R₁ = −100/2 = −50

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 10/100 = 1,1

Estágio por estágio

V₁ = −50·0,15 = −7,5 V

V_out = 1,1·(−7,5) = −8,25 V

Resposta

V_out = −8,25 V

7.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 0,7176 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 15 + 8 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 8·23/(8+23) = 5,935 Ω

R_eq = R₁ + 5,935 = 8 + 5,935 = 13,94 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/13,94 = 0,7176 A

Resposta

I_R1 = 0,7176 A

8.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 7,29 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 30 + 10 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 5,217 Ω

R₃ + 5,217 = 30,22 Ω

R₂ ∥ 30,22 = 4,29 Ω

R_eq = R₁ + 4,29 = 3 + 4,29 = 7,29 Ω

Resposta

R_eq = 7,29 Ω

9.Thévenin e Norton

Resposta: V_th = 12 V

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão V_th em série com uma resistência R_th. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente I_N = V_th/R_th em paralelo com R_th.

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R₁ ∥ R₂ = 5·10/(5+10) = 3,333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,333 + 15 = 18,33 Ω

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, não passa corrente por R₃, então não há queda nele e V_b = V_A. R₁ e R₂ formam um divisor de tensão.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·10/(5+10) = 12 V

10.Thévenin e Norton

Resposta: I_N = 6,429 A

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R₁ ∥ R₂ = 3·2/(3+2) = 1,2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,2 + 3 = 4,2 Ω

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 6 + 5·1,2 = 12 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 12 + 5·3 = 27 V

Equivalente de Norton

Uma fonte de Norton é o mesmo circuito visto como uma fonte de corrente em paralelo com R_th. Sua corrente é a corrente de curto-circuito em a–b.

I_N = V_th/R_th = 27/4,2 = 6,429 A

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Medição e Instrumentação: pacote de revisão

1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Método

Aquisição de dados e amostragem

Método

Circuitos com amplificadores operacionais

Resistores em série e paralelo

Método

Thévenin e Norton

Método

2Exercícios

3Soluções

Tensão de Thévenin

Resistência de Thévenin

Corrente do galvanômetro

Resposta

Variação relativa da resistência

Saída da ponte

Resposta

Tamanho do passo

Código

Resposta

Resolva para N

Arredondar para cima

Resposta

Tensão nas entradas

LKC na entrada inversora

Resposta

Ganho de cada estágio

Estágio por estágio

Resposta

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Corrente da fonte

Resposta

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Resposta

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Equivalente de Norton

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto