Medição e Instrumentação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Tensões dos divisores: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Saídas: V_ab = V_a − V_b
Balanço: R₁/R₂ = R₃/R₄
Ponte de fio: R/R_x = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Fator do extensômetro: ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte: quarto V_s·GF·ε/4, meia V_s·GF·ε/2, completa V_s·GF·ε
Pequena variação, um braço: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Tensão: σ = E·ε

Método

Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
Para uma ponte desequilibrada, encontre V_a e V_b a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use V_s·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.

Aquisição de dados e amostragem

Critério de Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Frequência de aliasing: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Tamanho do passo: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento): ±½ LSB
Código do ADC com truncamento: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits para uma resolução r: 2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados: canais × f_s × N bit/s
ADC multiplexado: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud: baud = f_clk/(16·D)

Método

Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
Em questões de amostragem, compare cada frequência com f_s/2; uma frequência mais alta aparece em f_a = |f − k·f_s|, com o múltiplo de f_s mais próximo.
Em questões de resolução, determine 1 LSB = V_FSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

Circuitos com amplificadores operacionais

Amplificador inversor: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Amplificador não inversor: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Amplificador somador: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Amplificador operacional ideal: V₊ = V₋, I_in = 0

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Thévenin e Norton

Tensão de Thévenin: V_th = V_{open circuit}
Resistência de Thévenin: R_th: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton: I_N = V_th/R_th
Corrente na carga: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Máxima transferência de potência: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Método

Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é V_th.
Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é R_th.
Recoloque a carga no circuito equivalente: V_th em série com R_th.
Para o equivalente de Norton, converta: I_N = V_th/R_th, com R_N = R_th em paralelo.

2Exercícios

1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia

Uma ponte com quatro braços de 470 Ω é alimentada com 5 V. Quando o sensor R₂ varia, a saída marca V_ab = 119 mV. Encontre a variação exata ΔR de R₂.

V_s = 5 VR = 470 ΩV_ab = 119 mV

ΔR = Ω

2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil

Uma ponte com braços de 120 Ω é excitada com 3 V e tem dois extensômetros ativos em braços adjacentes, um sob tração e outro sob compressão (meia ponte). O fator do extensômetro é 2 e a deformação é 200 µε. Encontre a saída da ponte V_o em mV.

V_s = 3 VGF = 2ε = 200 µε

V_o = mV

3.Aquisição de dados e amostragemMédia

Um ADC com faixa de entrada de 0 a 5 V deve resolver passos de 10 mV ou menores. Encontre o menor número de bits N.

V_FSR = 5 Vresolução = 10 mV

N =

4.Aquisição de dados e amostragemDifícil

Uma medição de áudio exige uma relação sinal-ruído de quantização ideal de pelo menos 55 dB para uma senoide de fundo de escala. Encontre o menor número de bits N do ADC.

SQNR ≥ 55 dB

N =

5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia

O amplificador operacional é ideal e alimentado com ±15 V. Encontre a tensão de saída V_out.

V_in = −0,3 VR₁ = 2 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil

O integrador usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V; sua saída satura em ±12 V. O capacitor está descarregado quando uma entrada constante V_in = 0,8 V é aplicada em t = 0. Quanto tempo após t = 0 a saída atinge a saturação? Encontre t.

V_in = 0,8 VR = 47 kΩC = 0,47 µFV_sat = ±12 V

t = ms

7.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 8 Ω

I_R1 = A

8.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 5 Ω

I_R2 = A

9.Thévenin e NortonMédia

Uma carga R_L = 10 Ω é ligada entre a–b. Substitua o resto do circuito pelo seu equivalente de Thévenin e encontre a corrente na carga I_L.

V₁ = 6 VR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR_L = 10 Ω

I_L = A

10.Thévenin e NortonDifícil

Uma carga R_L = 12 Ω é ligada entre a–b. Substitua o resto do circuito pelo seu equivalente de Thévenin e encontre a corrente na carga I_L.

V₁ = 36 VI_s = 3 AR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 12 Ω

I_L = A

3Soluções

1.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: ΔR = 47 Ω

Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação V_s. O divisor da esquerda R₁–R₂ dá V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) e o divisor da direita R₃–R₄ dá V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); a saída é V_ab = V_a − V_b. A ponte está equilibrada (V_ab = 0, sem corrente no medidor) quando R₁/R₂ = R₃/R₄, isto é, R₁·R₄ = R₂·R₃. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Tensão do nó

V_a = 2,5 + 0,1191 = 2,619 V

Resolva o divisor

R₂ = 470·2,619/(5 − 2,619) = 517 Ω

ΔR = 517 − 470 = 47 Ω

Resposta

ΔR = 47 Ω

2.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: V_o = 0,6 mV

Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão V_s·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão V_s·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.

Variação relativa da resistência

ΔR/R = 2·200·10⁻⁶ = 0,0004

Saída da ponte

V_o = V_s·GF·ε/2 = 3·0,0004/2 = 0,6 mV

Resposta

V_o = 0,6 mV

3.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: N = 9

Resolução do ADC: um conversor de N bits divide sua faixa de fundo de escala V_FSR em 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Um passo é 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: a menor variação que o conversor consegue mostrar. Um ADC com truncamento dá o código ⌊V_in/LSB⌋; um ADC com arredondamento nunca fica a mais de ½ LSB do valor verdadeiro, seu erro de quantização. Cada bit a mais reduz o LSB à metade e acrescenta cerca de 6 dB à relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para uma senoide de fundo de escala. Para alcançar uma resolução r em uma faixa, escolha o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/r.

Passos necessários

5000 mV/10 mV = 500

Bits

log₂(500) = 8,966

2⁸ = 256 < 500 ≤ 2⁹ = 512

N = 9

Resposta

N = 9

4.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: N = 9

Resolva para N

N ≥ (55 − 1,76)/6,02 = 8,844

Arredondar para cima

N = 9

verificação: 6,02·9 + 1,76 = 55,94 dB ≥ 55 dB

Resposta

N = 9

5.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: V_out = −1,8 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

A entrada inversora segue a entrada

V₋ = V₊ = −0,3 V

I = V₋/R₁ = −0,3/2 = −0,15 mA

Tensão de saída

A corrente em R₁ também passa por R_f.

V_out = V₋ + I·R_f = −0,3 + (−0,15)·10 = −1,8 V

Resposta

V_out = −1,8 V

6.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: t = 331,3 ms

Corrente de entrada e taxa da rampa

kΩ vezes µF dá milissegundos.

RC = 47 kΩ · 0,47 µF = 22,09 ms

taxa da rampa = −V_in/(RC) = −0,8/22,09 = −0,03622 V/ms

Tempo até a saturação

|V_in|·t/(RC) = V_sat → t = V_sat·RC/|V_in| = 12·22,09/0,8 = 331,3 ms

Resposta

t = 331,3 ms

7.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 0,5799 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 3 + 8 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 15·11/(15+11) = 6,346 Ω

R_eq = R₁ + 6,346 = 4 + 6,346 = 10,35 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/10,35 = 0,5799 A

Resposta

I_R1 = 0,5799 A

8.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 6,789 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 3 + 5 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 4,8 Ω

R₃ + 4,8 = 19,8 Ω

R₂ ∥ 19,8 = 1,817 Ω

R_eq = R₁ + 1,817 = 3 + 1,817 = 4,817 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/4,817 = 7,474 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 7,474·3 = 13,58 V

I_R2 = V_A/R₂ = 13,58/2 = 6,789 A

Resposta

I_R2 = 6,789 A

9.Thévenin e Norton

Resposta: I_L = 0,2069 A

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão V_th em série com uma resistência R_th. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente I_N = V_th/R_th em paralelo com R_th.

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R₁ ∥ R₂ = 2·4/(2+4) = 1,333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,333 + 8 = 9,333 Ω

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, não passa corrente por R₃, então não há queda nele e V_b = V_A. R₁ e R₂ formam um divisor de tensão.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·4/(2+4) = 4 V

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

A fonte de Thévenin e R_th em série se comportam exatamente como o circuito original em a–b, então a carga vê uma malha simples em série.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 4/(9,333 + 10) = 0,2069 A

10.Thévenin e Norton

Resposta: I_L = −0,6923 A

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R₁ ∥ R₂ = 6·12/(6+12) = 4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4 + 10 = 14 Ω

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 24 + (−3)·4 = 12 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 12 + (−3)·10 = −18 V

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

A fonte de Thévenin e R_th em série se comportam exatamente como o circuito original em a–b, então a carga vê uma malha simples em série.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −18/(14 + 12) = −0,6923 A

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1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Método

Aquisição de dados e amostragem

Método

Circuitos com amplificadores operacionais

Resistores em série e paralelo

Método

Thévenin e Norton

Método

2Exercícios

3Soluções

Tensão do nó

Resolva o divisor

Resposta

Variação relativa da resistência

Saída da ponte

Resposta

Passos necessários

Bits

Resposta

Resolva para N

Arredondar para cima

Resposta

A entrada inversora segue a entrada

Tensão de saída

Resposta

Corrente de entrada e taxa da rampa

Tempo até a saturação

Resposta

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Corrente da fonte

Resposta

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Corrente da fonte

Corrente em R₂

Resposta

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto